以行求知- 體驗.探究.求真 -數學

M02 以小三除法為例解說數學上的知識體系

陳鋼 先生 (高級學校發展主任)
陳婉文 老師 (天主教總堂區學校)
馬紫欣 老師 (聖博德學校)

卡耐基教學促進基金會學者馬立平 (Liping Ma) 教授曾提及有關“knowledge package” 的概念，其意為 “I use the term ‘knowledge package’ … for the group of topics that teachers tend to see around the topic they are teaching” 。誠然，在教授任何一個課題時，教師總會透過備課或經驗的累積，令自己能更熟悉所要教授的教學內容。 馬教授想指出的是，除了關心將要授課的內容外，教師能否再進一步，多了解「圍繞教授內容的其他課題」 (the group of topics around the topic they are teaching) ？她稱上述的知識體系為一個「知識封包」 (knowledge package)。

本工作坊首部份，藉 馬教授著作中的例子，向同工介紹「知識封包」的概念，探討如何增進對數學課題的「知識封包」。第二部份，將以小三除法為例，講述與之有關的「知識封包」，並討論這新增的角度對教學的影響。

教師在準備教授小三除法時，可有想過以下問題：教授此課題前，學生應掌握哪些知識？往後有哪些課題，其教學將受此課題的影響？有哪些課題是在教授小三長除法時，可一併教授或重溫的？透過研習數學課程綱要、基本能力指引及課本編排，教師能了解學生已學習哪些相關課題、小三除法的學習重點等，如明白此課題建基於小二基本除法的知識，並將影響學生於小四時學習有關除數是兩或三個位的除法計算，較容易忽略的，是這個課題還會影響小六的小數除法計算。以上所述，都是與小三除法有關的縱向課題。

藉翻閱TSA試題及補充練習，教師能進一步發現與小三除法有關的橫向課題。教師除可了解各類考試題型外，亦宜小心審視題目所涉及的數學概念，思考除了直接講解有關練習外，還能否在教學上稍作舖墊，令學生更容易學習。以上兩段所提及的，如引用 馬教授的術語，便是一個課題的「知識封包」。以小三除法為例，可關注的橫向課題，包括一般長除法應用題、需考慮餘數作答的應用題、貨幣找換等。教師對這些課題多作關顧，深入認識這些題目的共通性，發掘其背後所蘊藏的數學概念，並轉化為恰當的教學策略，教學便能更聚焦。

有了以上對小三除法的認知，教師能更有把握利用不同的教學方法，幫助學生學習。例如，為讓學生對除法計算背後所表達的意義有更多的了解，教師宜利用硬幣或數粒等教具，安排分物活動，幫助學生理解除法計算的意義。在教授有關餘數處理的應用題時，教師可先安排數字較小的題目，幫助學生發現應用題的意義，才進行操練。例如，將一道「秋季旅行有119位學生參加，每位老師最多可照顧9位學生，最少需要多少位老師同行？」 (TSA2008小三卷四第14題) 改為「秋季旅行有23位學生參加，每位老師最多可照顧5位學生，最少需要多少位老師同行？」及「茶葉行現有茶葉23罐。每5罐茶葉包裝成一箱，最多可裝滿多少箱？」等，以便學生更容易發現箇中概念。我們透過教師分享、學生於課堂及習作的表現，分析學生在此課題的學習情況。

參考資料：

1. Ma, L.P. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J. : Lawrence Erlbaum Associates.

2. Liebeck, P. (1984). How children learn mathematics: a guide for parents and teachers. Harmondsworth: Penguin.

M03 在數學科運用Rasch Model促進學生學習

陳子陽 先生 (高級學校發展主任)
劉振華 老師 (柴灣信愛學校)
凌家豪 老師 (慈幼葉漢千禧小學)
陳素雯 老師 (慈幼葉漢千禧小學)

數學科的學習過程是一個螺旋式的探究過程，要促進學生從探究中建構數學概念，他們需要對預備學習的課題有穩固的前置知識，然後把新知識建基於已有的基模上，對學生而言，這樣進行學習活動才能有意義。因此，當老 師教授新課題時，要做到因材施教，幚助學生掌握學習的課題，先了解學生的前置知識便顯得重要了。老師們要考慮學生是否具備足夠的前置知識？學生具備前置知識是否存在偏差？

部份數學老師們都明白掌握學生學習情況的重要性，因此，他們在教授不同的數學課題前，都會利用「前測」去了解學生的前置知識，從而去編排教學內容、課堂活動、分組安排和評估設計。進行診斷性測驗時，我們除了要注意考卷的內容效度(content validity) 和建構效度(construct validity)外，合適的測量方法亦是不可缺少的。

丹麥學者Rasch,G提出的測量方法Rasch Model，在不少國際性和全港性「對學習的評估」的測試中，都扮演著重要角色。它為不同持份者提供不同的資訊，例如：Rasch Model除了對每位受測試學生的學業表現提供更準確的計量外，亦為研究人員 和老師提供試題分析資訊，幚助擬卷人員改善考卷的質素。此外， Rasch Model在分析學生表現數據外，也是一個幚助老師進行「促進學習的評估」和診斷性評估的測量工具，它為老師提供有效的評估資訊，幚助老師分析學生的表現，例如：透過分析報告，老師除了可以找到整體學生對數學概念的掌握情況，亦可以指出個別學生對考卷的相應能力及個別學生運用數學概念解難時的異常表現，從而促使老師在教學設計上作出調整，在課堂上給予學生合適的關顧，而整個分析數據和反思教學的的經歷，亦是促進老師專業發展，提升學科教學知識的過程。

在這次的分享會中，我們透過兩間不同發展經歷的學校，分享老師設計有效診斷性評估和利用Rasch Model分析學生表現數據進行「促進學習的評估」的經驗。

柴灣信愛學校的老師會分享他們在教授五年級課題「異分母加減」前，運用診斷性評估和Rasch Model測量學生有關的前置知識的經驗。老師在學生學習「異分母加減」前，設計了一份對應學習重點的前測考卷，從而考核學生對相關數學概念的理解層次。透過閱讀Rasch Model的分析報告，老師能更清晰了解學生對不同層次數學概念的掌握程度，從而幚助學生修正和鞏固某些相關數學概念，疏理學生的數學概念。建立在這個基礎上，課堂的教學更為聚焦及多變，老師在課堂教授計算技巧的時間得以減少，學生能有較充裕的時間去進行深化學習的活動，「異分母加減」的課堂教學因而不再局限於沉悶的計算操練。

對一向任教高年級的老師而言，面對一群來自不同幼稚園的小一同學，他們帶著不同的學習經驗，任教一年級數學是一項新的挑戰。從成年人角度來看，一年級的數學教學重點好像很簡單，小一同學們應該不難掌握，然而，實際學習情況並非如此，即使某些數學能力較佳的同學，他們建構的數學概念也未必是穩固的。慈幼葉漢千禧小學任教高年級的老師會分享他們在一年級數學科的兩次考試中，通過運用Rasch Model的學生分析報告去追蹤學生計算錯誤背後的原因，了解一年級同學在不同學習單元的學習難點的過程。Rasch Model亦為老師顯示個別數學能力較佳或較弱的同學在作答某些題目時的異常表現，提示老師為這些同學進行對應性的鞏固數學概念工作，間接幚助老師能從中加深對學生學習過程的了解。透過這次校本發展的經驗，老師們對小一學生如何學習數學的認知得到新的體會。這次發展經驗不但提升了他們任教低年級數學的學科教學知識，亦幚助他們對高年級數學能力較弱的同學的學習困難有更豐富的了解。

參考資料：

1. Rasch,G (1960). Probabilistic models for some intelligence and attainment test. Copenhagen: Danmarks Padagogiske Instit.

2. Wright, B.D. & Stone, M.H. (1979). Best Test Design : Rasch Measurement. Chicago : MESA Press

M04 從特殊到一般─在小五面積探究活動中歸納公式

李潤強 先生 (高級學校發展主任)
梁澤光老師 (佛教林炳炎紀念學校)
招靜儀老師 (佛教林炳炎紀念學校)

數學科課程既注重教授基本的數學知識，為學生奠定良好的數學基礎，亦著重學生的學習過程，發展他們的探究、傳意、推理、構思和解決問題等能力，以及培養他們認真、嚴謹、富探究精神等良好的學習態度。部分課題牽涉較抽象的數學概念，課程鼓勵學生透過探究，從中發現一些數學的規律，藉著發問、討論和驗証假設來發掘和建立知識，讓學生從探究擴闊他們的知識領域，發展共通能力，提高學習數學的興趣，及培養探究精神等。

在教授小五「面積」的課題中（認識及應用平行四邊形、三角形及梯形面積的公式），教師較常遇到以下的困難，就是以直接講解的模式教學，學生感到概念較為抽象，難以理解公式背後的意義，很多學生只能靠背誦公式的方法計算結果，若遇見複雜的問題，他們就胡亂把數字代入公式。佛教林炳炎紀念學校的數學科老 師在教授這個課題時也遇過以上的困難，所以認同讓學生透過探究活動，發現及歸納計算平行四邊形、三角形及梯形的面積公式，能加強他們的理解及應用。

是次分享會旨在分享我們的發展經驗與學生的學習過程，我們從探討如何讓學生從已有的知識，再透過教師的引導、提問、討論等方式，最後利用特殊的例子，歸納到一般情況的猜想與結論。

在發展的過程中，我們也遇到很多的問題，例如在首次探究平行四邊形的面積前，學生需要具備甚麼基礎的知識，才有能力探索新的知識？在小五上學期的課程內容，包括「分數」（數範疇）及「八個方向」（圖形與空間範疇）等不同範疇的課題，與「面積」（度量範疇）的關係不大。學生在上年度（小四）曾學習面積的概念，以及正方形與長方形面積的公式，與現時學習平行四邊形的面積相隔一段時間，若學生忘記過往的概念，或只背誦這些矩形面積的公式，他們就難以發現及理解平行四邊形面積的計算方法。然而，一般的教科書在「面積」的課題裏都只描述平行四邊形面積的計算方法，未能照顧學生對重溫基礎知識的學習需要；因此，在探究活動前，我們與學生重溫「面積的概念」、「面積的單位」、「矩形面積的公式」等，這些概念也屬建構平行四邊形面積的必備知識。然後，我們利用一個解難活動引起學生的學習動機，著學生找出一個平行四邊形的面積，即使學生仍未學會公式的計算方法，他們還可用最簡單的方法——數格仔，數出這個平行四邊形佔多少個一平方厘米小格。然而，我們故意設計這個平行四邊形的邊旁小格難以合併成完整的一平方厘米；這樣，不同的學生就有不同的合併方法，全班學生就出現不同的結果，但一個平行四邊形又怎會有不同的面積？究竟我們可以怎樣準確地找出它的面積呢？所以我們計劃讓學生在認知層面上產生「失調」（dissonance），藉此引起他們的學習動機去探究及解決問題。

在探究平行四邊形面積的計算方法，我們利用了一些特殊的例子，派發三個不同的平行四邊形，著學生利用剪貼及平移的方法，拼湊成一個可利用公式計算面積的圖形，從而計算原本平行四邊形的面積。我們希望學生透過觀察及計算，發現這些平行四邊形都能拼湊成矩形，利用矩形面積的公式（長乘以闊），找出這三個平行四邊形的面積，然後再歸納和推理所有平行四邊形面積的公式（底乘以高）。在歸納的過程中，我們需注意總不能以一、兩個例子就得出結論，然而這卻是教科書常見的取向，學生能否接受及明白？因此，多少個圖形較為讓學生感到合理？所謂歸納及推理，是指從個別性的前提出發，由觀察許多現象而把結果進行綜合，試圖找出一個定則或結論，然而推論出的結果也不一定正確，只有強或弱的可靠度(validity)之分。因此，在進行歸納及推理時，我們需注意三個條件：（一）事例的數量要多，（二）事例的類別要廣，（三）沒有與結論不符的事例(沒有反例)，從而提高結論的可靠度。但我們在課堂上只完成三個平行四邊形面積的發現，這是否已足夠推論所有平行四邊形面積的公式？學生還是否需要一些延伸活動？還有，在探究及歸納三角形及梯形的面積時，會否與探究平行四邊形面積有不同的策略？

另一方面，相信 曾經教授此課題的教師也會遇到另一個教學難點，就是學生難以辨認平行四邊形及三角形的高度，特別是一些垂直線繪畫在圖形以外的位置時，他們較難以辨識對應的高和底。很多時，教師一般處理的方法是給予學生大量的練習繪畫高度，希望他們熟能生巧；然而，這樣的操練會否只強調技巧的掌握而忽略認知層面的理解？當他們遇到一些難題與平日操練的題目不類似時（例如：題目給予多餘的資料，即圖形上有多過一對的底和高的邊長），能否找出正確的高和底呢？若我們細心思考學生的已有知識與現時學習內容的關係及分別，我們就可以更了解他們的學習困難，從而思考幫助他們學習的方法。我們知道學生在日常生活中對高度已有一定的認識，例如上體育課時每人均需量度高度，我們量度高度時需直立地面，以及處身於三維空間中；然而這些圖形只是平面圖形，學生在認識它們的高度時，它們只躺在桌面上，這與學生對高度的生活經驗是否不大切合？我們又可否從他們的生活經驗，建構量度圖形高度的概念？以上是我們在課程發展中遇到部分的重要問題，希望透過是次分享會，與同工仔細分享當中的發展經驗，以及互相交流經驗，促進專業發展。

參考資料：

1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。

2. Festinger, L. (1957). A theory of cognitive dissonance. Stanford, CA: Stanford University Press.

M05 「面有難式」 ─ 透過解難活動加深學生對「面積」課題的認識

陳影菲 女士 (高級學校發展主任)
石建嘉 老師 (聖公會聖馬太小學)
梁梓媚 老師 (聖公會聖馬太小學)

數學科的「解決問題能力」或「解難能力」(Problem Solving Skill)是指學習者能利用已有知識和運用數學的技巧和方法去解決新的問題，並能驗證結果。

聖公會聖馬太小學教師有感於學生雖能應付基本應用題，但對於一些高層次思考題卻表現未如理想，故一年多前申請校本支援服務，期望透過與學校發展主任的共同備課，優化校本課程，加強學生對數學概念的理解，以提高學生解決問題的能力。是次分享會主要藉着小四及小五「面積」課題，分享如何提升學生解難能力的經驗。

學生在「面積」課題主要出現的學習問題包括：未能有效掌握周界及面積概念，以致容易把周界和面積的公式混淆；而在計算平行四邊形或三角形面積時，學生未能找出「底」和相應的「高」。2007年全港性系統評估報告中更指出「當學生遇到一些非標準的圖形或涉及不常見的情景題目而需要靈活運用有關公式時，學生的表現明顯比較差。」由於那些非標準的圖形是由兩個或以上的基本圖形組合而成，在計算圖形面積時學生往往因未熟習公式或未能處理多步計算而出錯。同樣的問題也在2008年全港性系統評估報告中出現。另一方面，在處理密鋪圖形面積和數量問題時，學生往往錯誤地直接把大的面積除以小的面積，而忽略了不可切割的條件。由於學生在學習「面積」時有以上的謬誤，我們重新設計課程協助學生學習，而在討論的過程中我們達成以下的共識：

照顧學習差異

隨着年級的遞增，學生的學習差異也隨之而擴大，對於一些能力稍遜的學生來說，教師以往較著重他們基本能力訓練，未必能提供太多思考空間。在分析學生的學習問題後，一方面，我們嘗試重組課程，目的是加深學生對概念的理解；另一方面，我們也加強學生解題策略的訓練，希望他們在面對一些富思考性的應用題時，能運用合適的方法去嘗試解決問題。在選題方面，我們會盡量配合學生能力，給予適當的提示，協助他們解決問題，保持學習興趣。

選擇合適的學習策略

就此課題，我們選擇了「實作」為學習策略，利用模型透過實物操作，讓學生從具體到抽象，再進行抽象概括，理解概念的本質屬性。在學習面積公式時，我們先讓學生透過不同的量度活動﹝例如派發平行四邊形的紙樣，讓學生們剪貼和拼砌﹞發現面積公式、底和相對應的高的關係等，以加強學生對概念的理解。同時，通過親身經歷切割和拼砌圖形，加深學生理解圖形特性和關係，明白到利用切割或填補方法來解決有關的問題。

加強學生在不同範疇的知識連繫

在解決問題的過程中，學生往往需要綜合不同範疇的知識。在計算非標準圖形時，學生需要利用對圖形特性的認識和處理多步計算的技巧去解難。因此，在教學過程中，我們多從學生已有知識出發，鞏固他們對圖形切割及拼砌的認識。令我們欣喜的是學生非但沒有忘記小四「圖形與空間」範疇的學習，更能作多角度思考，例如，在未學習梯形面積公式前，他們已能提供五種不同方法填補或切割梯形成已知面積公式的圖形，從而找出面積。

以問題引導學生思考

一般坊間的解難學習材料多在課題完結後作為教學延伸，又或增潤項目。但當我們閱覽一些教學研究時，發現不同的學者均同意解難能力的發展與概念掌握有着互相支持的關係，而解難能力的培養需於教學過程中積極引入。因此，在整個小五「面積」課題中，我們以解難問題引導學生作深入的思考。在開始階段，學生確實需要較長時間去思考、探究和發現公式。但是，當完成標準圖形面積公式探究後，我們發現學生已掌握了圖形切割及填補的技巧。在處理非標準圖形時，他們更能獨自處理問題。由於整體教學時間並沒有增加，教師們擔心教學進度的問題，也獲得解決。

參考資料：

1. 香港課程發展議會(2002)。《數學教育學習領域課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。

2. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。

3. Lester, F. K. (2003). Teaching Mathematics through Problem Solving Prekindergarten – Grade 6. V.A.: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

4. Ma, L. P. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

5. Polya, G. (1988). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Princeton, NJ: Princeton University Press.

M06 拓闊數學課堂的思考空間─從分析難點到設計教學（四年級）

周偉志 先生 (高級學校發展主任)
文美玉 女士 (借調教師)
吳銀英老師 (天神嘉諾撒學校)
蔡婉儀 老師 (天神嘉諾撒學校)

如果你的學生在數學的測考上得到良好的成績，你仍會考慮改善自己的教學方式嗎？

天神嘉諾撒學校的兩位四年級數學老師本很滿意學生的學業成績，但當近年學校嘗試在數學科試卷中加入一些非常規性或較開放性的問題時，學生的表現卻令她們感到意外。老師本已預計學生處理這些題目的表現未必會理想，卻沒想到很多學生竟會放棄嘗試，不作思考，把答案欄漏空便算。老師嘗試從觀課中了解多點學生解答此類問題的表現，發覺學生未能靈活思考解題策略，表達解題方法時甚欠自信，且未能解釋思考過程。

老師共同反思自己的教學與學生表現的關係，當中參考《數學課程全面檢討報告》(CDC, 2000)，了解到自己的教學和香港普遍老師的教學相似，均是以測考為主導的，這樣不但導致學生感到學習沉悶，亦令她們產生不少挫敗感，對學習缺乏自信，無怪乎她們會放棄嘗試解答非常規性及開放性問題了。老師反思到以往偏重以應試模式教學， 強調教授學生以特定的技巧及法則解題，且要學生明白答案的對錯及標準的運算過程最為重要，因這樣才能確保在測考中得到理想的分數。可是，這也導致學生不愛思考數學問題，缺乏能力運用不同策略解決問題，而且忽略運用語言解釋思考過程的重要。

為了改善以上的情況，老師嘗試改變教學方式，讓學生在數學課堂中通過互動及討論，共同解決一些富思考性的數學問題，藉此加深他們對數學概念的認識，以及互相啟發思維。正如一些數學教育家所強調，應讓學生從解決問題中學習數學，甚至如Hiebert et al.(1996) 所提出的，要令學生對數學科充滿疑問，從而產生好奇，並主動尋找答案。此外，學生在共同解決數學問題時，能在同一目標下通過討論、商議及分享共同學習，從中能提升解決問題及溝通能力(Webb, 1991)。課堂討論也促使學生運用語言表達及重新組織自己的思考，學生在表達時，不但能自我澄清思維，也讓教師及同學了解自己的所思所想。

我們透過討論四年級不同課題中的學習難點共同設計課堂教學，當中的難點包括：在除法中，學生未能有效地利用「試商」方法找出算式的「商」；在四邊形中，學生未能有效地比較及描述不同四邊形的相同及不相同特性；在周界中，學生未能善用移邊方法求多邊形的周界等。老師在每次討論後均會進行同儕觀課及課後研討，老師尤其關注如何設計合適的數學問題，以促進學生的思考。

老師發現數學問題的設計會直接影響課堂的成效，題目應能提供思考空間讓學生發揮，讓學生可以運用不同策略解決問題，亦可以透過不同表達方式解釋策略，這和很多老師認為問題應以深淺難度作為標準的看法不同。老師期望這些題目能擴闊學生在課堂的思考空間，學生在課堂討論中能了解及比較同學的不同想法，甚至質疑同學的見解，以及回應同學的提問，藉此加深對數學問題的認識。老師在這次分享會中會以下列三個例子闡述她們探討的歷程：

1. 在除法中，老師發現學生只機械式地以單一方法試商，並沒有先以數字感考慮除數和被除數的關係，學生雖然能找出答案，但計算時有欠效率，且感到吃力及沒有趣味。故老師設計問題，讓學生從不同實例中判斷及選擇自己認為最有效的試商方法，並要學生解釋原因。學生了解到試商並非純是技巧，而是要先思考及判斷，老師觀察到學生計算除數時較以往積極，且有效率。

2. 在四邊形中，學生在比較不同類型四邊形的特性時，只需在表格中選擇每類四邊形各自的特性，老師發現這樣學生並不能綜合及比較各類四邊形的特性，從而深化對四邊形特性的掌握，學生也沒有機會運用數學語言解釋及描述各類圖形的異同。於是老師設計開放性問題，讓學生選擇兩類自己認為最相似及兩類自己認為最不相似的四邊形，學生綜合自己對各類四邊形特性的認識，從而作出比較及選擇，並向同學分享及解釋自己的看法，這促使學生從不同角度思考各類圖形特性間的關係，以及運用準確的數學語言作出描述。

3. 在周界中，學生求某些多邊形的周界時，可透過平移某些邊的方法，把多邊形轉變成一周界與原有圖形相同的矩形，然後運用公式計算，這樣計算會更為準確及快捷，學生從中也會加深了解周界的概念。可是，老師發覺學生雖已掌握這解題技巧，但當遇到這類問題時，仍會傾向把多邊形的每條邊相加，不敢以快捷的方法計算，學生表示這樣做好像較為可靠。由於老師感到學生缺乏信心運用不同策略解題，於是便設計一題目促使學生運用策略解決──學生要運用策略比較幾個多邊形周界的長短，並要解釋原因，當中用不到逐邊相加的方法。活動後，老師發覺學生經深入思考「平移」這策略後，更有信心在日常練習及測考中應用。

老師期望透過這次研討會和大家分享她們探討這課題時的經歷及所思所想，當中重點包括她們如何從分析學生難點到設計課堂的經歷，以及她們對促進學生在數學課堂中思考的反思。老師會以課堂片段闡釋學生在課堂中的表現及轉變，從而回應對這問題的看法，希望對參與研討會的老師有一點參考作用。

參考資料：

1. 香港課程發展議會（2000）。《數學課程全面檢討報告》。香港：政府印務局。

2. Hiebert et al. (1996). Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: The case of mathematics. Educational Researcher, 25, 12-21.

3. Webb, N.M. (1991). Task-related verbal interaction and mathematics learning in small groups. Journal for Research in Mathematics Eduation, 22, 366-389.

M07 「分」內留神─分數縱向課程設計分享

曾倫尊 女士(高級學校發展主任)
陳志剛先生 (借調教師)
溫志華老師(元朗公立中學校友會小學)
李倩 老師(元朗公立中學校友會小學)
黎秀薇 老師 (元朗公立中學校友會小學)

在香港的小學數學課程中，根據《數學課程指引》，分數是數範疇中的一大課題，在三年級至五年級的學習重點中，分數共佔了數範疇的30%建議教節，可見分數概念的學習是數學學習領域中極為重要的一環。分數和許多重要的數學概念有著密切的關聯性，是學生學習基礎數學知識所必需的。當學生具備基本的分數概念後，才能進一步學習有關分數的四則運算問題(Adalira, 1990)。因此，學好分數十分重要，然而分數涉及非整數概念，較抽象難明，各級學生在學習分數時，都會遇到不同程度的困難。

在進行分數教學時，除了須注意學生過去學習經歷及日常生活經驗，對分數概念建立之影響外，課程的編排順序與學童身心的發展也須緊密配合。從Van Hiele (Fuys etal.,1984)幾何發展模式中可知，三、四年級學生的幾何思考特性，正在視覺期，對基礎分數的教學應多用幾何圖，如圓形、矩形等作為分數學習的啟蒙。在教學過程中，亦應由圖形轉換成符號來輔助分數概念的學習，此類學習經驗對學生獲得穩固的分數概念及對四至六年級學生操作分數具有極重要的幫助，學生較能有效地進行分數概念學習 (Post, Wachsmuth, & Behr, 1985)，因為在概念中，最容易的是符號轉換成語言，最難的是透過圖形轉換成符號(Lesh et al., 1987)，若學生能透過圖形、具體物、語言、符號等，這一類外在的數學表徵形式表達分數的操作，我們便可以得知學生內部的數學思考。

元朗公立中學校友會小學的老師嘗試參考數學教育組分數教學資料冊(第五輯)，有系統地設計分數的縱向課程，運用繪圖協助學生連貫不同階段分數概念的學習，解構各級難點，讓學生充分理解分數。老師們就三至五年級分數課題的不同難點作了深入的探討。幾年的共同備課中，大家在分數教學嘗試採用了繪圖法來貫通各級學習活動的設計。經過多次研課、觀課及不斷反思改良，累積了一些設計活動的經驗。希望透過分享與其他老師交流，在教學上運用畫圖協助學生建構分數概念，及讓學生透過探究活動以畫圖去建構分數的概念及解答難題。

在三年級的課程，由於學生首次接觸分數，學生在學習分數概念之前的非正式知識及已有知識亦會影響課堂上的學習效果 (Davis et al., 1990)，讓他們掌握分數的基本概念(如用分數表達整體的一部分或一堆物件中的一部分)非常重要，因為這些知識就是日後所有非整數概念課題的基礎。Behr et al.(1988)認為運用繪圖將圖形切割成幾個等分，或者將一個集合等分成幾個相等的子集合，這兩種分割概念是分數啟蒙過程，也是理解分數的基礎和技能。老師們針對同學的幾何思考特性，正在視覺期，嘗試多應用幾何圖形，如圓形、矩形等，帶出等分的觀念。學生除了懂得判斷等分的圖形外，還探究如何等分不同的圖形。在教學過程中遇到很多設計圖形的問題，然而經深入討論後，老師們均認同活動的難度，但仍希望同學可處理各種不同難度的設計圖形，鞏固分數的基礎概念。及後當學生比較分數大小時，往往會將分數表達成整體的一部分或一堆物件中的一部分來比較，導致不能作出有效的判斷。教師若不運用繪圖來闡釋及澄清，協助學生選取適當的概念，以繪圖準確地表達，必會影響往後四年級的分數學習。

四年級學生需要學習操作分數，不但要把分數分類，還要懂得將帶分數和假分數互通。然而這部分教材由於太過操作取向，只著重方法、程序、規則、技巧與演算，即是將整數乘以分母再加分子轉化為假分數的分子；或將假分數轉化為帶分數，即是將分母除以分子，商為帶分數的整數部分，餘數為帶分數的分子等，導致學生只懂得機械式地將帶分數和假分數互化，無法真正了解帶、假分數互通的意義及其延伸的相關內容。而這些分數概念的學習，老師們均認為不應只重視機械式的練習，必須強調真正的理解，於是讓學生運用三年級所學繪圖的知識，嘗試繪畫等值的帶、假分數圖形，推論並解釋它們之間的關係，並得出互通的方法。整個活動需時較長，卻能令學生真正明白理解操作分數的意義。到學習擴分、約分、甚至把同分母分數相加減時，學生均可根據所學，進一步運用繪圖建構如何把整數與分數作相互加減，理解為甚麼要先將整數化為同分母分數，然後才相加或相減，澄清四年級學生在這部分常會產生的疑問。

到了五年級處理異分母分數加減時，同學對通分母最感困難。老師們於是根據學生三、四年級所學，從比較分數大小出發，刻意讓學生運用繪圖比較一些接近的分數。老師們沿用了學生在三年級熟習的圖形來均分，大大減低繪圖的難度，使學生較容易發現必須將兩分數之分母化成相同，才能真正比較，從中明白整個通分母的過程及原則，自行建構如何把異分母分數化成相同分母，然後作相加減，真正理解為甚麼要先通分母然後才能將異分母分數加減。

參考資料：

1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。

2. Adalira,S.L.(1990). Children's Fraction Schemes: A Developmental Analysis of Numeration Among Remote Oksapmin Village Populations in Papua New Guinea . In: Child Development 1981/52:S.306-316.

3. Behr, M. J., & Post, T. R. (1988). Teaching rational number and decimal concept. In T. R. Post(Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8: Reach Based Methods (190-231). Newton, MA: Allyn and Bacon.

4. Davis, G., & Pitkethly, A.(1990). Cognitive Aspect of Sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 145-153.

5. Fuys, D., Geddes, D.& Tischler,R.(1984) An Investigation of The Van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents. New York :Brooklyn.

6. Lesh, R., Behr, M. & À Post, T.( 1987). Rational Number Relations and Proportions. In Janvier,C(Ed) Problems in the Teaching and Learning of Mathematics. London: New Jersey.

7. Post, T., Wachsmuth, I. & Behr, M. (1985). Order and equivalence of rational numbers: A cognitive analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 16, 18-37.

M08 反思小三除法、分數和平行與垂直的學與教

吳沛 榮先生 (高級學校發展主任 )
林紫燕 老師 (佛教陳榮根紀念學校)
李淑敏 老師 (佛教陳榮根紀念學校)
梁玉蓮 老師 (佛教陳榮根紀念學校)

在共同備課的會議中，老師經常會問這樣的一個問題﹕「這個課題應該教些什麼？怎樣教？」，反映出老師期望在課程上能作出適當的調適來配合學生學習上的需要，幫助學生在學習上有更好的表現。傳統的數學教學，以老師講解為主，以結果為導向，注重數學知識的傳授，不注重學生的學習感受和數學知識形成的過程;而學習內容亦以教科書為依歸，未能針對學生實際的需要，阻礙了學生的思維發展。2000年編訂的小學數學課程指引，清楚揭示了「數學科的教學不應只注重求取正確的答案，更應重視學生的學習的過程和數學的應用上」，並且提出了讓學生透過不同的學習活動愉快地學習來培養他們的思維能力。同樣地，香港課程發展議會在2000年發表的《數學課程全面檢討報告》中，亦明確地指出「數學應視為一種智力活動和思考方式，而不僅是一種工具」、「教師應為學童提供機會，讓學童探究、發現和建立數學概念、數學應重視數學學習的過程，而非活動的成果」。報告中又指出教師是學生學習過程中的關鍵人物，教師的個性是決定學生是否喜歡該學科的主要因素，而教師對課程的充份掌握，教育目標的認同以及專業精神，均是課程改革的先決條件。

佛教陳榮根紀念學校的老師，三年前開始在小三級別發展校本的數學課程。在教學上，老師嘗試從過往的知識傳授者轉變為學生學習的參與者和促進者。因此，在教材和教學活動的設計上，強調教學的互動性，多讓學生進行探究、推理和解決數學問題。老師亦透過激活課堂的對話，關注每一位學生的發展，加 強老師與學生、學生與學生之間的思想交流。他們不再只是組織教學，牽著學生的鼻子走，而是走進學生中間，認真觀察，仔細傾聽，設身處地感受學生的所作所為，所思所想，隨時掌握各種課堂中的各種情況。同時在過程中並考慮下一步如何指導學生學習，引導學生清除問題的種種障礙，並且給與學生精神上的鼓勵，營造良好的學習氣氛。

然而，老師在這幾年教學轉變的過程中，並非如想像中那麼順利，老師在實踐的過程中遇到不少的衝擊，例如老師在課後分析學生的作品時，並不是那麼容易。由於這些分析往往是建基於老師個人的判斷、對本身教學環境的認識、對教育的價值觀、信念和經驗（McNamara, 2002），所以對於了解和處理學生的學習問題上，不同的老師，會有不同的想法。因此在共同備課會中，老師需要用上較多的時間進行商討，才能達成共識；而在引導學生思考和激活課堂對話方面，老師亦發覺在掌握有關的教學技巧上，並不純熟，經常要與同工一起學習和討論。正如Kincheloe（2003）所言，教師作為研究者，必須視教學工作為學習的地方和重視同儕間的協作，並且能自我導向，對自己的工作有較高的要求。因此老師在教學反思的進程上，雖然遇上不少困難──有時是在信念上、有時是在技巧上、有時是在文化上，但是透過老師坦誠的對話和協商，都能得以解決，為校本課程的發展建立了良好的根基。

在是次的分享會中，老師會從三年級三個不同的課題：除法、分數、平行和垂直，分享自己如何在面對教學觀念的轉變和學生的學習問題上，設計有關的數學問題和教學策略，讓學生在課堂解決問題時，能進行討論及交換意見，從不同的角度來分析及理解有關的概念和知識，加深他們對這些課題的認識，而老師則透過同儕觀課和課後研討來檢視學生的學習過程，當中亦會以學生的課堂片段、堂課、家課和評估表現作為依據，對教學的設計及回饋，作出進一步的調適：

除法

二年級學生在學習除法運算時，由於剛學會一位數乘以一位數，所以他們只需要學習除法一步的運算，然而當學生升上三年級後，他們學會習一位數乘兩位數/三位數之後，便會繼續學習一位數除兩位數/三位數，而當中所要求的運算步驟，是學生需進行兩步至三步的運算，這樣才能作找出合理及準確的結果，但部份學生卻仍然受二年級除法運算的經驗所影響，仍然以一步運算為主，引致學生在計算上出現頗多失誤，尤其是在試商的過程和處理一些有多餘數和需要「補零」的題目裡。為了解決這些問題，老師便先讓學生以紙幣和硬幣進行分物的活動，以了解一位數除兩位數/三位數的概念，然後才幫助進行運算的步驟。然而老師在課堂的觀察上，發覺透過分物的活動亦未必能改善學生的學習果效，除非學生能真正認識這些分物活動與除法運算步驟的關係，這樣學生在除法的表現上才有較理想的結果。換句話說，學生在學習數學的過於中，必須要掌握有關的數學概念與解決程序的關係，這樣才能學懂有關的數學課題。除此之外，老師從這次的教學經驗中，認為要幫助學生明白分物活動與除法運算的關係，並不能 單單依靠老師的解釋，而是要讓學生在課堂上進行討論和質疑的學習過程，再由老師引導下，使他們找出分物活動與除法運算的關係，真正認識一位數除兩位數 /三位數的意義，而過往只側重運算技巧的教授或學習活動的安排，並不能真正幫助學生認識有關的課題。

分數

分數是三年級學生較難理解的課題，學生在學習「分數作為整體的部分及一組物件的部分」時，其中最重要的是要認識分數與整體的關係和等分的概念。因此，老師為了幫助學生掌握有關的數學概念和知識，便利用了摺紙、圖像、分物等活動來引導學生理解有關的概念；而學生在整個學習過程中，大部分能利用不同的摺紙和劃圖方法正確地表達分數作為整體的部分。但當分數作為一組物件的部分時，卻有不少學生未能把該組物件分割成某數量的等分。老師認為這主要是學生未能釐清整體的部分與一組物件的部分這兩者的關係，故此才出現了上述的學習問題。為了幫助學生更了解這個關係，老師在課堂上便把摺紙、劃圖和分物等活動互相連繫，藉著小組討論，使學生更能認識有關的概念，而在課後的檢討會議中，老師都認為學生的學習表現亦比預期的好，學生雖然在當中進行了不少的課堂活動，佔用了較多的課堂時間，但其實與過往未進行課程調適時相比，授課的時間卻又並沒有增多。這主要是因為老師在授課前的備課會中，早已提出了有關的學習問題，所以在教學的時間上才能作出事先的安排和配合。除此之外，老師發覺在日後高年級的共同備課會議中，五年級分數乘法的概念和六年級的百分率的應用課題，與三年級分數中等分的概念有著密切的關係，從而體驗到數學課程縱向發展的重要性。

平行和垂直

老 師在教授平行線和垂直線這兩個課題時，討論先教授哪一個課題會較為合適。有老師建議先教垂直線的課題，因為可幫助學生從垂直距離的定義來幫助學生分辨平行線；但有老師卻持不同的意見，認為必須先教平行線的課題，讓學生了解平行線是指兩線不斷延長時永不相交的特性後，然後才引入垂直的概念，這樣學生才會較容易掌握兩者的特性和分別。最後，老師經過商議後，還是決定先教授平行線這個課題，但卻採用了不同的教學方法；一些是強調在同一平面內的兩條直線，無論怎樣延長也不會相交的特性；而另一些則先引入垂直的概念，然後以兩線之間的垂直距離處處一樣的特性來分辨兩線是否平行。老師在觀察學生的學習過程中，發覺如果採用前者的教學方法，學生的學習表現較為理想；而採用後者的教學方法，學生的學習表現則比較遜色。這主要是由於老師在引入垂直的概念時，學生對垂直的概念還未能完全掌握，便要開始量度兩線之間的垂直距離，所以量度出來的結果比較為容易出現偏差的情況，導致學生未能因此而準確地判斷兩線平行與否。老師在是次的教學經驗中，體會到在教授新的數學知識和概念時，必須要考慮學生的前備知識是否足夠，而課程內容編排的次序又是否恰當，符合學生認知能力的發展，這樣才能使學生的數學習更有效益。

老師從這三個課題的教學經驗來回顧過往的課展工作，對於展望將來的數學校本課程發展工作起著重要的啟發作用，亦期望將這些經驗，和與會的數學同工分享。

參考資料：

1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。

2. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程全面檢討報告》。香港：政府印務局。

3. McNamara, O. (2002). Becoming An Evidence-Based Practitioner. London:Routledge Falmer.

4. Kincheloe, J. L. (2003). Teachers as Researchers. London:Routledge Falmer.