以行求知- 教學．學教 - 序言 -數學
數學學習領域
陳影菲女士 (高級學校發展主任)
陳露明老師 (聖公會聖多馬小學)
陳李玉珊老師 (嘉諾撒聖方濟各學校)
摺紙圖樣的學習問題
2000年推行的小學數學科課程中，在小五加插了立體圖形的摺紙圖樣學習，不少教師都察覺到學生學習摺紙圖樣時存在着頗大差異。空間感弱的同學，老師即使竭盡九牛二虎之力，也無法讓學生理解如何識別摺紙圖樣。相反地，空間感強的同學很快便能看出紙樣是否能摺出指定的立體圖形，又能按立體圖形各個面的圖案繪畫包含圖案的摺紙圖樣。此類題目也常見於智力測驗，我們不禁提出疑問：「空間感」是否天生的、無法改變的內在能力？
另一方面，摺紙圖樣的學習與一般數學學習略有不同，當中不但沒有計算步驟，表面上又好像沒有邏輯推理，感覺抽象，難以應付，有些老師甚至懷疑是否需要學生背誦。
至於教科書的編排，往往也令老師難以理解。它們一般會把正方體或長方體的紙盒以不同的途徑沿邊剪開，揭示幾款不同的摺紙圖樣，然後就草草進行練習。然而對於如何識別摺紙圖樣，解釋當中面和邊的關係及構成要素，則沒有詳細描述。部分老師閱讀後也摸不清這方面的要求，試問又怎會有信心地施教？故此在課程緊迫及學習差異大的情況下，老師多只是輕描淡寫地帶過這課題。
教師近年開始留意到以上的學習問題，希望逐步改善學生的學習，於是一起分析課程要求和配合兒童空間概念的發展，設計相應的探究活動，期望能優化學生的學習。
圖形與空間範疇的概念學習
培養學生的「空間感」是小學數學科課程教學宗旨的重要一環。「空間感」是指一個人對其周圍環境及事物的直覺感覺(NCTM, 1989)，這方面的學習潛藏於圖形與空間範疇教學中。
Clements & Battista(1992) 將空間知識(圖形與空間範疇)分成幾何思考與空間思考兩類。幾何思考主要是探索物體的屬性如形狀、大小、方向等，以及經過種種轉換之後不變的性質。例如：小一學生發現立體圖形滾動和堆叠等特性，於是加以分析、比較和分類，歸納圖形的特性及根據分類命名，建構知識。目前一般學校所教的主要是這一系列的知識。
空間思考則主要包含兩部分，一是空間導向──理解及操作物體位置的關係，如在迷宮內找出路；另一要素是空間的視覺想像(visualization) ──理解及想像平面或立體空間裡的物體運動。空間思考最主要是運用「心像」的能力。所謂「心像」是指我們看到物體之後能留下的印象，當該物體不在時也能回想該物的樣子。我們的種種知覺運動也都可以留下心像，沒有這些心像也就沒有想像。心像可以說是一種符號，代表所經驗到的事物，所以也是事物的表徵。例如：當我們聽到「五元」時，腦裏便會浮現硬幣的形狀。學生要運用空間思考的能力(就是指操控心像的能力)，將原有心像加以分解，或改變原有心像的方向，如翻轉、旋轉或調換位置，把平面的紙樣想像成一張可摺成立體圖形的模樣。
Clements & Battista(1992)提出兒童的認知能力是一個潛在的能力，這個能力會因為經驗而有不同程度的展現，例如：初小數學科課程主要教授幾何思考的課題(如三角形、四邊形等)，由於學生這方面的經驗較多、較為熟悉，所以表現較佳；至於空間思考的課題，由於經驗相對較少而表現稍遜。他認為空間直覺不是天生的，而是從主動操作環境中建構起來的。如何協助學生有效建構空間知識成為我們共同備課研討的焦點。
分享會簡介
本環節由聖公會聖多馬小學和嘉諾撒聖方濟各學校的教師分別分享正方體及長方體摺紙圖樣的教學經驗及學生表現。在籌劃摺紙圖樣教學的過程中，兩所學校曾共同商議學習難點及分享施教經驗，又進行課堂觀摩，實際地了解學生學習情況，在實踐的過程中，我們有以下發現：
1. 教師認同學生需要透過實物操作探究摺紙圖樣六個面的組成要素，並在操作前加入猜估環節，讓學生先估計後驗證。部分學生在猜估中出錯，以致他們更主動地檢視平面圖形在翻轉、旋轉時的改變。這方面的安排能有效引導學生從具體操作過度到抽象想像，最後進行抽象概括，增強空間想像能力。
2. 教師組織小組討論活動，要求學生與朋輩分析和討論，透過推測和檢視、解釋和互評，深化概念理解。同時，教師因應學生之間的學習差異，嘗試把課業細分成不同的探究項目，按學生能力分發，讓他們各展所長，增進互動交流，彼此學習。我們觀察發現學生能提出質疑或嘗試向小組同學解釋圖樣在摺疊時的改變，大大增加了課堂的互動學習。
3. 在研討的過程中，教師特別着眼於概念間的連繫，即是怎樣由一個概念牽引到另一個概念。長方體摺紙圖樣比正方體摺紙圖樣更複雜──除了要考慮各個面的擺放位置外，還要顧及對應面的位置及與邊長的關係。我們刻意選取了一些解難活動作為正方體摺紙圖樣的教學延伸，深化學生對正方體各對應面組合的認識，為日後長方體學習做好準備。教師發現此安排不但提升學生解難能力，亦能協助他們在討論長方體摺紙圖樣時，更準確地解釋對應面的關係，從而提升學習成效。
4. 解決日常生活的問題往往需要學生綜合不同範疇的知識，這方面的能力發展在高年級尤為重要。故此，我們設計了一個實作的跨範疇評估課業──為固定體積的長方體設計摺紙圖樣，學生需要綜合利用長方體體積的計算技巧和摺紙圖樣的認識去解決問題。令我們欣喜的是學生非但沒有忘記數個月前的學習，更能作多角度思考，設計出不同的摺紙圖樣，並能清楚地解釋及互評。
實踐證明，空間探究的能力是可以藉豐富學習經歷而得到提高的 : 有系統地組織學習材料及學習活動能讓同學更易掌握學習內容。同時，教師在課堂開首階段明確地點出學習目標，有利於學生理解課堂「所為何事」，此安排亦令討論和學習更加清晰和聚焦。另一方面，通過猜測、驗證、反思和討論，逐步培養學生探究能力，可以使學生學習更主動和積極。教師期望透過是次研討會和大家分享她們的構思和經歷，當中包括分析學生學習難點、教學設計、課堂實踐時遇到的問題及評估發現。研討會設有小組討論及實作環節，希望參與的教師對這課題有更深入的了解及思考。
參考資料：
1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Retrieved Dec 31, 2010 from, http://www.fayar.net/east/teacher.web/Math/Standards/Previous/CurrEvStds/k4s9.htm
3. Clements, D., & Battista, M. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. In D. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 420-464). New York: Macmillan Publishing Company.
李潤強先生 (高級學校發展主任)
鍾桂蘭老師 (佛教林炳炎紀念學校)
陳慶順老師 (佛教林炳炎紀念學校)
雷志榮老師 (聖安多尼學校)
解答應用題是小學數學課程的重要課題，不同類型的應用題遍佈在一至六年級多個單元裏，當中的題型包括「一步運算的四則應用題」、「兩步或以上運算的四則應用題」、「小數四則應用題」、「分數四則應用題」等。
在教授不同年級的應用題中，教師常遇見學生有著種種不同的困難。在一、二年級的階段，普遍學生識字有限，語文能力不足以理解整道題目的意思，他們在審題時又態度輕率，未有完整閱讀每句句子，只看部分關鍵字詞及數字便思考計算的方法。因此，普遍低年級的學生在文字理解、審題技巧及態度方面需多加改善。
另一方面，當學生認識了加、減、乘、除的四則應用題後，他們面對更多不同的詞彙、情景及提問，題目的內容亦會不斷加深，要求學生較高層次的思維能力—— 推理、批判、創造、解難等思考能力，才能理解題意及解決問題。
小學數學的應用題分布在多個範疇裏，各年級的題型有著不同的重點。本分享會著重分享與佛教林炳炎紀念學校老師及聖安多尼學校老師共同發展第一學習階段解答應用題的縱向策略，針對初小學生的困難及課程重點，從小培養學生認真審題的態度，加強應用題文字的理解，從而構思了「解題四步曲」── 解答應用題策略。
另一方面，當學生面對不同運算或複雜情景的應用題時，他們需透徹理解題意，以及掌握運算的概念，然後才懂得應用相關的運算步驟，解答題目的要求。然而在學生學習的過程中，他們往往遇見很多不同的困難與誤解，為針對個別學生的誤解，我們嘗試設計小組討論活動，讓每位學生分享自己對題目的理解，然後透過互相討論及質疑，讓他們嘗試互相協助，釐清誤解。
培養學生數學的思維及應用數學的能力，關鍵在於解難(problem solving)、描述(representing)、探究(enquiring)、推理(reasoning)、溝通(communicating)（Derek Haylock & Anne Cockburn, 2008）。我們希望利用小組討論活動，讓學生利用語言或圖像溝通，描述自己對題目的理解，把當中的誤解彰顯出來；然後共同探究、推理及解難，讓大家的誤解愈辯愈清，逐步提升他們的數學思維及應用數學的能力。
隨後，我們又嘗試引導學生自擬應用題，原因是要引發兒童學習應用題的積極性，便要通過他們的主動學習，讓他們「創造」問題。自擬應用題就是引導學生「創造」數學問題。在自擬的過程中，學生更能理解自己的問題。鄭振初（2001）指出通過應用題，學生可以：
1. 加強對應用題的掌握；
2. 鍛練思考能力；
3. 培養分析能力；
4. 提高學生的數字感；
5. 培養觀察日常生活問題的習慣。
以下簡述三項已發展的策略及步驟：
應用題基本教學策略（一）：解題四步曲
為加強學生解題能力，教師在課堂上加強學生讀題及解題的訓練，多讓學生用自己的語言解釋題意。我們鼓勵學生先認清題目的意思，然後才思考計算的方法，藉此培養學生認真審題的態度，以及提升學生理解數學語言的能力。
學生解題步驟：
1.輕聲讀題
2.圈出重點
3.用心解題
4.列出算式
此策略適宜於小一的加法、減法應用題開始引入，繼而可以在小二及小三應用題單元進行鞏固，讓學生從小認識培養認真審題的態度，打好學習應用題的根基。經教師嘗試後，我們察覺到他們透過讀題、圈出重要的資料、解釋題目的意思，然後才思考計算的方法，漸漸養成認真理解題意及題目的要求，而非只著眼於關鍵字，匆匆看完題目便立即列式計算。有教師表示過往主要由自己讀題，後來讓學生讀才知道他們有很多字都不懂讀音，影響他們理解題目的意思。
應用題教學策略（二）：小組討論
即使學生養成認真審題的態度，能解答一些常見的應用題；但當他們遇到一些較複雜情景的題目，又或是混合不同運算的應用題時，能力稍遜的學生會感到困難。
「小組討論」是讓他們透過互相討論及幫助，互相刺激思考，而能力較高的學生可幫助能力較弱的學生，教師亦能透過觀察他們討論，更能理解各人的差異與誤解，然後透過匯報及全班討論，把各人的誤解愈辯愈清，從而提升照顧個別差異的成效。另一方面，學生透過小組協作活動，有助發展他們的溝通、協作、批判性思考等共通能力。
學生解題步驟：
1. 學生個別列寫橫式
2.小組討論
3.個別/小組匯報
4.計算結果
此策略適宜於教授某單一運算的應用題後，教師把不同運算的應用題混合，讓學生利用以上小組討論的策略互相解題及思考計算的方法。然而，此策略要求學生需有一定的說話能力，以及運用數學語言表達思考；因此，若能加入一些討論技巧及常規，學生的表現會較為理想。
經與教師討論後，大家認同在小二階段引入較為合適，我們在教授加、減應用題單元中，當學生對書本上的應用題有一定的認識後，我們把加、減應用題混合，加入一些較艱深的題目，然後運用「小組討論」策略讓學生互相解題。隨後，在教授乘法應用題時，我們同樣地混合加、減、乘法應用題，讓學生透過小組討論共同協作、解決問題。從觀察學生的討論及匯報，教師認同小組討論有助他們發現學生的難點及誤解，大家透過互相解題及辯證，能把當中的難題愈辯愈清晰。
應用題教學策略（三）：自擬應用題
學生透過小組討論較複雜的題型，能有效地提升他們高層次的思維能力。為進一步提升學生的學習動機及更高層次的思維能力（例如創意、批判性思考等），以及加強聯繫日常生活與數學的關係，利用「自擬應用題」便能達到較佳的效果。
「自擬應用題」沒有一定的處理方法，而教師較常著學生擬題後，便收回由教師批改。部分教師會把精采的題目加以讚賞，例如張貼在壁報板上，但很多教師察覺部分學生只抱著「交功課」的心態擬題，提不起勁思考。
是次分享的「自擬應用題」分為兩部分——「擬題」及「驗證」，我們鼓勵學生先透過分組擬題，然後交換互相驗證。我們察覺到很多小朋友的好勝心強，擬題的學生希望擬出艱深的題目，不要讓別組驗證的同學理解及計算；另一方面，驗證的同學希望找出擬題同學的錯處，或找出該題的答案。
我們察覺到學生在「自擬應用題」的思考層次及空間較以上的兩種策略更高更闊。原因是當學生是「擬題者」的角色時，他們需創作及思考日常生活的難題，可用相關的數學知識解答，然後運用文字表達出來；另一方面，當學生是「驗證者」的角色時，他們不單只思考驗證題目是怎樣計算？還需首先思考題目中是否包含足夠的資料？情景及資料是否合理？即是同學的自擬應用題會否不能計算？這些問題都是驗證的學生必須思考及討論，相對他們在討論老師給予的應用題時，他們只需討論如何理解和如何計算即可，而「自擬應用題」更能啟發學生的思考空間及高階思維。
學生解題步驟：
1. 教師給予指引及示範擬題
2. 小組自擬應用題、組內驗證
3. 組與組互換驗證
4. 小組匯報
此策略適宜於較以上兩種策略後期採用，然而這類活動需佔用較多時間，教師宜先在課堂進行一至兩次的自擬應用題活動，讓學生掌握擬題的技巧及互相驗證的方法；然後在往後的單元中，教師可鼓勵學生在課餘時間進行自擬應用題活動，亦可以比賽的形式進行，加添趣味性，這樣便可減少佔用課堂的時段。
我們希望透過是次分享會，與同工深入討論以上解答應用題的策略，以及配合學生的認知發展與課程發展的縱向策略。
參考資料：
1. 鄭振初（2001）。《小學數學課程與教學》。香港：香港教育學院。
2. Derek Haylock & Anne Cockburn (2008). Understanding Mathematics for Young Children. SAGE
陳鋼先生 (高級學校發展主任)
李國喬老師 (聖文德天主教小學)
袁國慶老師 (聖文德天主教小學)
陳浩民老師 (聖文德天主教小學)
「教育改革的整體精神是以學生為本……不斷自學、思考、探索」(教育統籌委員會，2006)，希望學生在學習的過程中多作思考，從而探求知識。另外，我們亦常聽到在小班的教學環境中，讓學生參與小組討論、利用提問及給予回饋的重要 (Galton，2009)。在數學科來說，提出上述的教學模式，是希望轉變以教師為中心，學生只是聽講接收；教師宜鼓勵學生多思考，並利用小班的優勢，透過提問等方式，讓學生建構所學課題的數學概念。欣喜的是，從近年與不同學校教師的備課經驗中，察覺每當商談教學策略時，教師多會提出「不要直接告訴學生、讓他們自己想出來」，可見教師已把學生放在教學的中心，並嘗試透過不同的探究活動，刺激學生思考。
隨著「學生需要多思考」的意識之提高，教師明白如要學生想出數學概念，下一步要關注的便是「如何讓學生建構數學概念」。教師重視學生思考的機會，多利用探究活動的形式讓學生思考，即讓學生進行分類、歸納、辨析等不同活動，從而讓學生主動建構數學知識、認識數學內容。但進行探究活動是否必然有利學生學習﹖怎樣舖排有關的探究活動，是教師需關注的事宜。舉例來說，在教授梯形時，給學生一些不同的圖形，然後要求學生分類，學生是否便能說出什麼是梯形﹖在教授三角形面積時，給學生一批三角形圖案，學生是否便能由此發現三角形的面積公式﹖讓學生建構知識的意識無疑是強了，但若一下子放得太鬆，遇到任何課題，都放任讓學生自行發現，學生是否就能明白有關內容﹖怎樣安排合適的課堂探究活動，對活動細節的拿捏，仍需大家進一步思考。
對於進行探究活動的方法，Borasi 教授 (1992) 曾提及數個進行數學探究活動的方法，現摘錄部份如下：
(一) 利用較不常規的課題進行探究；
(二) 利用學生的錯誤作為探究的平台；
(三) 提供機會讓學生多作意見交流。
聖文德天主教小學的教師，將以上的方法，融入於小學三年級「垂直線、平行線、平行四邊形」課題的教學中。我們透過備課會的討論，仔細商談教學的細節。舉例說，是否給學生不同的圖案，然後要求學生分類，學生就能辨認哪些是垂直線﹖這樣可能對學生要求較高。那麼，直接告訴學生什麼是垂直線，學生又何來探究、思考的機會﹖經過討論，教師決定在課堂上先讓學生了解垂直線的意義，然後讓學生自行辨認不同形式的線段是否屬垂直線，學生雖未有探究垂直線的定義，但亦不限於只聆聽老師解說各例，而能在活動中透過例子和非例子探索垂直線的特質。教師明確了解探究的重點是垂直線的特質，而非垂直線的定義，而探究的方法，就是引入較不常規的例子，刺激學生思考；藉著學生的錯誤為探究的平台，讓學生以小組形式進行討論，從而加深他們對垂直線的理解。
在整個教學單元的設計上，教師都利用上述原則設計活動，並減少直接解說、講授的時間，令教學能在學生自由探索及教師講授兩者之間求取平衡，從而增加學生思考的機會。
除有關探究的元素外，教師在課堂中亦採用了各類例子和非例子進行教學。這方法普遍為教師所採用，舉例來說，加拿大安大略省的課程文件 (Ministry of Education, 2008) 就曾提及，學生可從檢查不同構造的平面圖案中獲益，建議教師除了給予學生大量明確的例子，還須展示非例子，以幫助學生消除不相關的特徵及聚焦於需要學習圖案的屬性。教師在整個單元的教學中，讓學生從不同的例子中認識垂直及平行的意義。至於提高教學效能的關鍵，就是教師在課前要有充足準備，思考、搜集各類例子與非例子，在教學時能靈活利用有關例子引導學生學習。
聖文德天主教小學的教師將有關教學經驗，套用到整個垂直線、平行線及平行四邊形的單元。在分享會中，我們會分析學生的想法，並談及教師的處理手法。至於學生的學習難點，我們有以下的發現：
(一) 由於部分學生不習慣利用直尺檢查兩線是否互相垂直，因此教師需在活動中，不斷強化學生利用工具進行驗證的意識，希望幫助學生減少只以直觀作判斷的習慣。
(二) 在教授平行四邊形時，教師讓學生繪畫平行四邊形，發現學生有不少困難。原來學生能掌握、辨認平行四邊形，但當學生繪畫平行四邊形時，卻混淆了線段的平行及長度等概念。
(三) 在方格紙上繪畫平行四邊形時，學生亦不多利用方格紙背景所提供的線段作參考。
第二及第三個問題，反映了學生對平行四邊形的認識，以辨認整體形狀為主，學生需經歷更多的學習，才能進一步掌握圖形對邊平行且相等的特性。這顯示學生在幾何思考的發展，仍處於較初期的階段，他們是先觀察圖形的整體形狀，經過一段時間的探索、學習，才能進一步認識圖形的特性。這與 van Hiele 所提出的兒童幾何概念的發展脗合。如劉秋木 (1996) 解釋幾何思考的發展階段所言，在幾何思考發展初期的兒童能辨認三角形或正方形，但其辨認只依其整個形狀，不會分析圖形的性質 ……所以他們會說一個圖形是長方形，因為它像個窗。對於兩個圖形的區別說不出理由，只說就是看到的。假如兒童說這是一個菱形，並非表示他知道它的四個邊相等，而只是「這個形狀和我以前學過的稱為『菱形』的圖形相似。」 教師需在教學中，協助學生檢視平行線的特性，提醒學生在該課題的學習經驗，才能幫助學生掌握有關圖形特性，解決相關學習問題。
在分享會中，我們會利用課堂片段，檢視學生的學習情況，亦會透過課業，分析學生的表現，希望藉此與同工分享有關教學經驗，讓教師了解：
(一) 進行探究活動需注意的事項；
(二) 學生在學習有關課題時，他們有那些常犯的錯誤，並思考解決方法。
參考資料：
1. 教育統籌委員會 (2006)。《教育改革進展報告 (四)》。香港：香港印務局。
2. 劉秋木 (1996)。《國小數學科教學研究》。台北：五南圖書。
3. M. Galton & T. Bell (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong Final Report. Hong Kong: Education Bureau. Retrieved Dec 30,2010 from, http://www.edb.gov.hk/tc/edu-system/primary-secondary/applicable-to-primary/small-class-teaching/reference.html
4. R. Borasi (1992). Learning mathematics though inquiry. Portsmouth, NH: Heinemann.
5. Geometry and spatial sense, Grades 4 to 6 (2008). Ontario: Ministry of Education.
蕭霞萍女士(高級學校發展主任)
李永佳老師 (天主教領島學校教師)
李珈琳老師 (天主教領島學校教師)
課堂提問的重要性
小學數學課堂中的提問是課堂教學的重要組成部分，也是教學中使用頻率最高的教學方法之一。一樣的教學內容，不一樣的提問方法，會產生不一樣的教學效果。恰到好處的課堂提問，能有效激發學生的好奇心，促進學生的思維，提升學生的學習興趣。
然而在日常教學中，課堂提問仍存着一些問題。視學周年報告(2007 – 08)指出：「課堂上善用促進學習的評估是提升學生學習效能的關鍵，教師因應清晰的學習目標，結合有層次的提問和適切回饋是基要的策略。……教師仍須繼續探討如何配合教學目標利用有層次的提問，引導學生深入思考，並運用追問及轉問引導學生廓清概念，深化學習，以提升他們的學習能力……」(香港教育局質素保證分部，2009)
課堂提問的現況反思
根據兩岸三地對課堂提問的研究，我們歸納出下列問題：
1. 提問只重數量而輕質量
l 課堂中過多的一問一答，常常使學生缺少思維的空間，表面上熱鬧，但是實際上學生處於較低的認知和思維水平上。
l 高層次問題，涉及「分析」、「綜合」、「評鑑」、「應用」等能力的問題嚴重不足。
2. 候答時間過短
l 學生回答問題是需要時間醞釀和思考的，但教師在提出問題後，往往在極短的時間內要求學生給予答案，學生的思維無法進入真正的思考狀態。
3. 重提問而輕回饋
l 學生回答後，教師太早下評價，未能鼓勵及引導學生從不同角度思考或深入探究問題。
l 提問只注意結論，而忽視對學生思維過程的考查。
教師提問技巧未臻理想的原因很多，如教師不清楚認知能力之類別(Ladd, 1970)，未能體認高層次認知性問題之重要性(Brozeck, 1974)等。Claus (1969)認為，教師難得提出高層次認知性問題，可能原於不懂如何編製題目以供提問。Bremer (1967)認為，教師對提問功能的了解不夠，也是造成未能善用提問的因素之一。
教師提問技巧之培訓
「教師發問技巧」一書的作者張玉成(1999)，綜合了西方國家和地區對教師提問技巧的培訓實驗，歸納提出下列要點以供參考：
1. 教師提問技巧，可經由特定課程之培訓予以加強改進。
2. 教師提問技巧培訓的主要內容，包括提問功能之了解、認知層次之掌握、問題類別之熟悉、各類問題之編擬、候答時間之改善、及其他提問、候答、理答技巧等等。
3. 提問技巧培訓之目的，著重加強下列教師的能力：編製良好題目、各類問題並重、候答時間合宜、引起學生反應、激發學生思考、目標確定等。
基於一次性的講座或工作坊對教師的實質作用有限，天主教領島學校與本組協作進行有關有效提問的行動研究。自2009 ─10年度開始，以當時就讀四年級的學生為對象，橫跨兩個學年的追踪、觀察、檢討及反思。主要活動如下：
1. 閱讀相關文獻，先掌握基本概念。
l 問題分類
Bloom’s Taxonomy的六個認知層次及相關問題類別，包括記憶、理解、應用、分析、綜合和評鑑。
l 提問技巧
Resnick提出數學提問的四個技巧，包括複述、回應、追問和挑戰。
2. 採用實踐、反思、再實踐的方式進行觀課活動，教師輪流施教，並於觀課時記錄觀課過程及意見，作為課後反思的依據。
l 第一輪觀課
課題：分數的認識 (四年級)
目的：強化教師對Bloom’s Taxonomy的六個認知層次及Resnick的提問技巧的掌握，並探討個人教學風格對課堂互動的影響。
方式：將課堂片段輯錄成文字，讓教師分析及檢討課堂互動的實際情況，嘗試把課堂中提出的問題按層次及所採用的提問技巧進行分類，然後檢討及提出改善策略。
l 第二輪觀課
課題：面積(一) (四年級)
目的：編擬各類問題、改善候答時間、提升學生的思考及傳意能力
方式：就課題學習目標、學習重點及難點編擬基本問題，並於課堂中實踐以下策略：
- 提問後給予學生約5秒的思考時間；
- 善用「思考 – 討論 – 交流」的小組討論策略，以提升學生的思考及傳意能力。
l 第三輪觀課
課題：異分母分數加法 (五年級)
目的：照顧學習差異
方式：針對不同能力的學生，採用不同層次的問題。
l 第四輪及第五輪觀課
課題：面積(二) (五年級)
目的：跟進及鞏固課堂有效提問的教學策略
方式：繼續採用先前的策略，觀察課堂上的實踐情況，進行檢討及改善。
總結經驗
有效提問包含兩個層面的含義：一是有效的問題；二是有效的提問策略。要充分體現課堂提問的有效性，教師除要掌握前文所述的能力外，在實踐時還需注意以下兩點：
1. 掌握教材
備課時需掌握教材的系統性、重點和難點。這樣才能緊緊圍繞教學目的、教學的重點和難點設計相應問題。只有理解教材，我們才能分清哪些問題是基礎性的問題，可以用「甚麼是」、「怎麼樣」來提問；哪些是高層次的問題，可以用「你是怎麼想的」、「你怎麼證明」來提問；哪些是探究性的問題，有必要讓學生討論、探究。
2. 掌握學生
教師必須了解自己所教學生的基礎知識、接受能力、思維習慣，以及學習中的困難和問題等。只有真正了解學生，才能針對性地提問，恰當地把握問題的難易度，做到因材施教，使課堂提問更加有效。
參考資料：
1. 張玉成 (1999)。《教師發問技巧》。台北市：心理出版社。
2. 香港教育局質素保證分部 (2009)。《視學周年報告(2007 – 08)》。香港：政府印務局。
3. Bloom, B.S. (ed) (1956), Taxonomy of educational objectives: handbook 1 cognitive domain. NYC: David Mckay Company.
4. Bremer, N.H. (1967). Guiding learning through skillful questioning, Elementary School Journal, 67, 417-422.
5. Brozeck, A. W. (1974). The effects of an in-service training program on questioning techniques of selected elementary teachers. Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh.
6. Claus, K.E. (1969). Effects of modeling and feedback treatments on the development of teachers’ questioning skills, Technical Report No. 6. Stanford University, Ed 033-081.
7. Ladd, G.T., and Anderson, H.O. (1970). Determining the level of inquiry in teacher’s question. Journal of Research on Science Teaching, 7, 395-400.
(註：參與老師需具備操作Rasch Model軟件的基本知識)
陳子陽先生 (高級學校發展主任)
陳素雯老師 (慈幼葉漢千禧小學)
盧廣軒老師 (慈幼葉漢千禧小學)
小班教學為老師和學生創設了一個較佳的學習環境，在這環境下，課室的教學空間得到擴大，隨著學生人數減少，老師與學生的互動機會亦增加了；然而，在不斷提升師生互動和優化教學設計之餘，評估亦是學生學習過程中，不可缺少的重要一環。劍橋大學學者Galton指出評估是小班教學評估的一個重要範疇，評估的目標應是為老師提供個别學生學習情況的資訊，從而幫助老師因材施教，照顧個別差異；因此，進展性評估(formative assessment)在小班教學的評估中所肩負的角色著實非常重要。
有效的進展性評估可以為老師提供可靠的數據，促進他們對學生的學習情況的了解；本學年，慈幼葉漢千禧小學的數學科老師們著意在校內發展進展性評估，老師透過提升擬題和分析數據的能力，增進對了解個別學生學習情況的掌握，認清學生的學習難點，包括學生對數學概念掌握程度、計算能力、運用數學概念去解難的能力和運用數學語言表達意念的能力等。老師透過分析學生進展性評估表現的數據，為他們擬定合適的拔尖補底跟進工作，從而使跟進工作更加對應學生的學習需要。
在上述的發展過程中，老師們經常討論和探討進展性評估的效度，因此，我們引入教育測量工具Rasch Model，對老師擬定的評估卷進行分析。由於Rasch Model能幫助老師把學生題目的答案與學習目標連繫和作出比對，透過閱讀有關的報表，老師甚至能了解學生在個別學習目標的表現。報表中資訊能反映學生在評估卷中的表現與老師期望的差異，為老師檢討考卷題目的難度提供客觀的分析數據。此外，這些報表亦能顯示個別班别內學生的學習差異，從而可幫助老師為個别學生進行拔尖補底工作時，找到合適的切入點；老師亦可參考報表內所提供的題目難度數值，改善評估卷內題目的分佈情況以及優化進展性評估所考核的內容。總括而言，Rasch Model可以讓老師加深對數學科課程和學生學習過程的了解，亦可促進老師對教學設計有更深入的討論。
在發展進展性評估回饋的道路上，老師在共同備課會經常問自己：「我們的工作能否為學生帶來學習上的改變？『學習中的評估』(assessment of learning)的效用又怎樣呢？」因此，小班教學的評估，除了要做到能夠幫助老師了解個別學生的學習情況外，亦要做到讓老師知道學生與上學年學生比較，本學年的學生與上學年學生在學習表現上有甚麼異同。如老師希望了解個別學生的學習水平，老師可透過Rasch Model的「等化」(equating)工作，把學生在進展性評估的數據與校內一些總結性評估的某些相關的題目連繫，再透過Rasch Model的分析軟件，比對本學年的學生與上學年學生在學習表現，計量本學年學生在有關學習目標中的表現，從而找到他們的實際水平，老師因而可從這些客觀的分析，誘發自己對課堂教學的反思。
對數學科老師而言，進展性評估提供的數據是重要的資訊，然而，受制於老師繁重的工作，縱然能設計一份有效的進展性評估，批改和輸入學生的表現數據倒是一項相當耗時的工作。隨著資訊科技的進步，我們可利用資訊科技，批改和輸入學生的「題項反應」(item response) 工作已可由影印機代勞，配合適當的電腦軟件，甚至可以整合、分析數據和製作報表。同時，在這過程中，我們亦在資訊再表達的方式作出考量，找出最能幫助老師解讀數據的方法，從而將擷取學生的表現數據過程簡化。
在是次分享會的上半部份，慈幼葉漢千禧小學的老師會和與會者以工作坊的形式，透過檢視不同的進展性評估卷，並思考改善這些進展性評估卷的方法；在下半部份，他們會分享在小班的情景中，怎樣有效地運用電腦軟件配合Rasch Model去整合、分析和解讀學生的表現數據，以及在優化進展性評估卷的過程中，老師曾作出的討論和反思。
參考資料:
1. M. Galton & T. Bell (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong Final Report. Education Bureau, Hong Kong.
2. Rasch,G (1960). Probabilistic models for some intelligence and attainment test. Copenhagen: Danmarks Padagogiske Instit.
周偉志先生 (高級學校發展主任)
文美玉老師 (香海正覺蓮社佛教正慧小學)
廖文慧老師 (香海正覺蓮社佛教正慧小學)
黃文志老師 (香海正覺蓮社佛教正慧小學)
廖小玲老師 (香海正覺蓮社佛教正慧小學)
小二基本乘法的學習問題
在一次二年級數學科的備課會中，香海正覺蓮社佛教正慧小學的老師討論到學生在學習基本乘法中的問題，以下是他們的一些對話：
「每年教到乘法這課題時，都替學生感到辛苦，尤其在記乘數表方面，相信他們會感受到不少壓力。話雖如此，其實記乘數表又沒有甚麼概念可言，始終死記硬背是必要的，唯有多些鼓勵他們吧。」
「不單記乘數表，學生在建立乘的概念時也有困難，書本已用了很多方式讓學生明白當中意義，例如連加及倍，又配合了一些圖畫作解釋，真不明白學生為何仍老是混淆乘數和被乘數的意義。」
「我們設計了多樣化的學習活動讓學生從中建立概念，例如實物操作及畫圖等，但學生的概念並不穩固，解答應用題的表現也不理想。」
「我也會期望提升學生的學習層次，好像數學語言的培養，但奈何學生連基本的概念也不穩固，那又如何提升他們呢？」
從老師的對話中，我感受到老師對學生學習的關注，但我同時感受到他們有很多憂慮，他們憂慮到學生記乘數表時的困難會影響到學習興趣，他們對學生概念不清的問題感到無可奈何，他們也沒有信心提升學生運用數學語言解釋概念的能力。老師關注到學生在態度、知識和能力方面的發展，事實上他們在教學中也有顧及學生這幾方面的學習需要，但由於學生的表現與自己的期望有所距離，又苦無新的點子突破這些教學難點，便感到有點困惑。
聽了老師的意見後，我心中產生了一些疑問。首先，背乘數表真的和概念沒有關係嗎？背乘數表可以背得輕鬆點嗎？此外，老師了解到若要學生建立清晰的數學概念，需讓學生以不同方式探究及表達，包括實物、圖像、符號及情景，但為何學生的概念仍不穩固呢？當中是否缺乏了甚麼元素呢？另外，數學語言的培養是較高層次的提升嗎？學生需建立到清晰的數學概念，然後才學習數學語言嗎？數學概念與數學語言之間有甚麼關係呢？相信老師心中也有很多疑問，我們便在共同備課中一起討論，我們的討論圍繞著以下重點：
1. 為甚麼學生背乘數表時會感到吃力呢？
2. 為甚麼學生未能從不同的表達方式中理解及掌握乘的意義呢？
3. 如何培養學生運用數學語言的能力呢？
老師雖在討論時很仔細地憶述學生在不同學習活動中的表現，但就少有提及不同活動之間的關連，也少有分析學生在不同活動中表現之間的關係，我們想這些「關連」與「關係」的確是以往所忽略的，這或許可成為重新檢視自己教學的一個亮點。
文獻如何回應教學問題
在一些文獻中，我們或可對學習活動的「關連」與「關係」找到一點啟示。Skemp （1976）提到理解可分為「機械式理解」(instrumental understanding)及「因果式理解」(relational understanding)。在「機械式理解」中，學習只著重法則而忽略理念，因此十分強調背誦，背誦時亦會把不同知識分割，不重視知識間的連繫及整全性，學生只安於有限範圍下的學習。在這情況下，記憶是短暫的，學習效果有限，這樣並不利於深入的理解。就像學生背乘數表時，只機械式地背誦，他們往往要不斷重複温習，卻又容易忘記。在「因果式理解」中，學生會從思考中找尋不同學習經驗的連貫性，從而為自己建構一整全的圖畫，這樣的學習會更有意義，記憶亦會較持久，並能促進深入的理解（Tall, 1978），因此，正慧小學的老師認為如要加強學生記乘數表的記憶，必先要讓他們連結乘數表與乘的意義，也要讓他們了解不同數的乘法之間的關係，例如2的乘法和4的乘法之關係。
此外，Hiebert and Lefevre （1986）闡述了「概念性知識」（conceptual knowledge）的一些特性，「概念性知識」是充滿關聯性的，就像一個連結著不同資訊的網絡，在建構過程中要不斷為不同的資訊建立及創造關係。由此可知，讓學生連結不同經驗、知識及資訊對於概念的理解是十分重要的。正慧小學的老師提及曾讓學生以不同方式探究及表達概念，包括實物、圖像、符號及情景，但他們認為如要學生建立概念性知識，必要讓學生連結這些不同的學習經歷，為那些不同探究及表達方式創造關係，使學生能建立一個概念的網絡，而不是視那些為個別的學習活動。
如何連結這些學習經歷呢？ Lesh（1979）提到除了要讓學生以不同方式進行探究及表達外，學生也要轉化（translate）那些不同的表達方式，即要連結實物、圖像、符號及情景之間的關係。Hiebert & Carpenter（1992）亦提及要連結不同的表達方式（connecting representations），學生可從連結同一或相關數學概念的不同表達方式中建構概念，連結時通常會比較不同方式的相同及相異之處，亦會加強不同表達方式的連繫性，概念理解的深淺則取決於這些連結的緊密程度。在乘法中，正慧小學的老師想到如何協助學生進行這些連結呢？除了關注不同表達方式的過渡、關連與比較外，他們認為運用語言解釋當中的關係也是值得考慮的策略。Bishop（1988）提到在數學課堂中運用語言的重要，他強調學生可從分享、討論及解釋中強化對數學概念的理解與掌握，而當中運用語言作有邏輯的連繫至為重要。
從教學實踐中探究問題
在審視不同教科書時，我們留意到不同教科書在編排2至10的乘法時是有不同的先後次序的，例如：
2至10順序
2、5、10、3、4、乘法交換性質、6、9、7、8
2、5、10、4、8、乘法交換性質、3、6、7、9
2、5、10、3、4、6、8、7、9、乘法交換性質
這些編排背後的理念包括數的順序、深淺程度（例如先學2、5、10，後學7、9）、以乘法交換性質推算較大數的積，以及不同數的關聯性（例如：5和10、4和8、3和6都是倍數關係）。老師認為以數的關聯性排列較能讓學生建立數與數的關係，對概念的建立較為有利，學生也可較輕鬆地記乘數表，故排列時先以2、5、10為一組，接著是4、8，然後是3、6、9，最後才是7，而乘法交換性質則在不同組數中均會介紹，從而讓學生理解同組數的乘數表之關係（例如在4和8一組中，4 × 8 = 8 × 4）。
在記誦乘數表方面，老師用了一些策略來加強學生學習時的連繫性。（一）老師讓學生自行製作乘數表，學生從連結數數粒、圖像記錄及算式記錄等學習經驗中製作自己的乘數表，故在記誦時能結合這些建立概念的不同經驗。（二）學生建立及記誦乘數表時，依照上一段提及強調不同組數的關聯性作次序。（三）老師讓學生觀察及與學生討論同組的二至三個數的乘數表之間有甚麼關係。（四）學生每次只記誦二或三個數的乘數表，讓學生在記誦時同時發現那二或三個數的乘數表之關係，這有別於老師以往要求學生累積性地記誦，在累積到多個數後學生會感到十分吃力。
在解答應用題方面，老師讓學生結合概念理解與解難策略。過程中，學生需時常判斷不同題型，從對比不同題型的異同中，分辨它們有甚麼關鍵特徵，亦同時發現它們的共通特性，從而加強概念的理解，當中尤其需分辨被乘數和乘數的分別及關係。為了加深學生的理解，老師讓學生以不同方式表達題意，例如以圖像表達不同題型的意義，並從不同圖像的共通點中找出各題型在乘法中的相關之處，也要求學生連繫圖像、算式及文字情景所表達的意義，從而深入理解當中的概念。此外，老師亦嘗試讓學生進一步貫通不同的表達方式，讓學生對比容易混淆被乘數與乘數的乘式，學生需透過圖像表達及自擬情景進行分辨及連繫。
老師也嘗試以另一角度看數學語言問題，除了視數學語言為一提升的能力之外，老師同時認為數學語言可作為不同表達方式之間的溝通媒介，學生可運用數學語言解釋圖像、算式和文字情景之間的關係。因此，在整個學習過程中，學生有很多機會透過語言進行解釋，例如：以圖像解釋情景、以算式解釋圖像或以算式解釋情景。我們想這樣較能結合概念理解與數學語言的發展，連結學生不同的學習經歷。
老師總結此課題的教學成效，對比以往的學生，本届的學生在記乘數表時表現得較輕鬆、有興趣及有效，他們解答應用題的能力有所提升，並能分辨題目中被乘數與乘數的關係，而且普遍學生能運用數學語言解釋不同的情景，表現對課題內容有深入的理解與掌握。老師期望透過這次研討會和大家分享他們探討這課題時的經歷及所思所想，包括他們如何從分析學生難點到設計教學的經歷，老師會以課堂片段及學生習作闡釋學生在學習過程中的表現及轉變，從而回應對此主題的看法，並希望與會老師有所交流。
參考資料：
1. Bishop (1988). Mathematical enculturation. A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
2. Hiebert, J. & Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In Grouws D.A. (ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning, NCTM, Macmillan, Inc., New York.
3. Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.) Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, pp1-27. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
4. Lesh, R. (1979). Mathematical learning disabilities: Considerations for identification, diagnosis, and remediation- In R. Lesh, 13. Mierkiewicz, & M. G. Kantowski (Eds.), Applied mathematical problem solving (pp, 111 - 180). Columbus, OH: ERIC/SMEAC. [Science, Mathematics, and Education Information Analysis Center].
5. Skemp R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77. 20-26.
6. Tall, D. (1978). The dynamics of understanding mathematics. Mathematics Teaching, 84, 50-52.
曾倫尊女士(高級學校發展主任)
陳嘉茹老師 (天主教柏德學校)
梁詠詩老師 (天主教柏德學校)
蕭艷芳老師 (天主教柏德學校)
葉妙兒老師 (天主教柏德學校)
在香港的小學數學課程中，根據《數學課程指引》，時間是度量範疇中的一大課題，在一年級至三年級的學習重點中，時間共佔了度量範疇約30%的建議教節，可見時間概念的學習是數學學習領域中極為重要的一環。然而時間是個抽象的名詞，包含兩種不同觀念 : 一為時距，一為時刻，他們以相似的單位表示，但代表的卻是兩種觀念，分別並不明顯。對於第一學習階段的學生，他們對於三時的概念只能停留於時刻的概念，即現在是下午三時 ; 他們較難理解三小時作為時距的概念，學生對時間的量感非常薄弱，因為他們實在難以理解原來時間一直都在流逝。時間的學習也會影響其他相關課題的學習，例如時間和速率概念有着密切的關聯性，當學生具備基本的時間概念後，才能進一步學習有關速率運算問題，因此要學好時間十分重要，然而時間涉及時距概念，抽象難明，不同年級的學生在學習時距時，都會遇到不同程度的困難。天主教柏德學校老師去年課硏觀課，以時間為題，深入反思課程設計及學生智性發展的關係，重新整理設計縱向課程，並進行硏課及優化。
在進行時間教學時，除了須注意學生過去學習經歷及日常生活經驗，以及對時間概念建立之影響外，課程的編排次序與學童身心的發展也須緊密配合。學者對時間概念的研究中，Piaget（1969）認為時間概念會在個體的發展過程中，隨着認知結構的不斷重組而逐漸建構而成的。他將兒童對時間概念的發展分為序列期、超序列期及精確衡量期 :
(一) 序列期 ── (約七歲和八歲的兒童)
l 能瞭解兩事件的先後，並將每日例行事件與慣用時間做結合。
l 有次序感，開始能協調連續與持續的時間概念，且能報讀整點時刻。
l 能排列一件事內之細則的先後，開始理解60分等於1小時，能報讀整點或半點的時刻。
(二) 超序列期 ── (約九歲和十歲的兒童)
l 能考慮事件經過的時間，並能利用時來測量及描述時間量，能利用慣用時間來測量時間的間距。
l 能比較時距及考慮所經過的時間量。
(三) 精確衡量期 --- (約十一歲和十二歲的兒童)
l 可以理解任意期間的單位，但不能解釋原因，具備初步週期概念。
l 能追溯及預測時間，明瞭速度，能使用秒來描述時間量，具備完整順序與週期概念。
天主教柏德學校老師參考學童對時間觀念發展的程序後，嘗試從時刻概念、時間單位量概念、時間順序概念、時間週期概念、時間等量關係概念、時間化聚概念等方面有系統地設計時間的縱向課程，運用實物操作、繪圖等協助學生連貫不同階段時間概念的學習，解構各級難點，讓學生充分理解相關的概念。在一年級的課程，由於學生首次接觸時間概念，然而學生在學習之前已有很多非正式的知識及已有知識影響課堂上的學習效果 (Davis et al., 1990)，讓他們掌握時間的基本概念(如三時的時刻概念與三小時的時距概念)非常重要，因為這些知識就是日後所有時間課題的基礎。Thornton 和 Vukelich（1988）的研究發現，兒童認識時鐘時間的發展是從大單位到小單位，因此在一年級關於時間概念教學的重點亦只在認識鐘面上的長、短針，並報讀時鐘上常用的整點或半點的大單位報時，然而在認識接近「時」和「半時」的時間，學生需要利用「差一些幾時」、「幾時多些」和「大約幾時」來表示時間，此外學生還要正確地繪畫出以上提及的時間，對於次序感不強的小一學生，又剛開始接受連續的時間概念，實在感到非常混淆。老師在教學過程中遇到很多的問題，然而經深入討論後，老師均認同操作聯動鐘及不聯動鐘活動的難度，但仍希望同學可從撥動聯動鐘的過程中，感受長、短針走動的相互關係，並發現短針在「半時」的位置是在一格的中間，再用不聯動鐘測試學生繪圖表達時間的準確性。老師發現學生對於時間的理解，就像對其他量概念的理解一樣，從知覺經驗開始逐漸抽象化與客觀化，故此需要主動建構而不是被灌輸，故老師的教學設計主要是為協助學生由認知性的時間經驗，轉換為客觀的時間概念為依歸。
二年級學生需要認識「分」，並能利用「時」和「分」報讀時鐘面上小刻度位置所對應的時間，進行幾點幾分的報讀，再以「小時」和「分」為單位，量度活動所用的時間。老師在此階段的教學上往往因為缺少培養學生「時間量感」的教學步驟，而使學生對時間的認知有困難。Friedman（1990）的研究發現，學生在五歲以後對於生活事件的時間估測，才有明顯的區別，為此老師特別設計活動讓學生由估測實際生活的事件作為連結，體驗時針的實際轉動，慢慢協助學生建構時間量感的觀念，目的是要讓學生實際地從做中學。此外，二年級的教學難點主要還有以下部分:
1. 利用鐘面上小刻度位置所對應的幾分時刻，進行幾點幾分的報讀，再由「五個一數」，知道鐘面上的數字所對應的幾分時刻，進行鐘面時刻報讀，並能正確地畫出時刻；
2. 能利用活動的起始時間及終結時間正確地找出活動所用的時間；
3. 小時和分鐘的化聚。
去年老師在課研時發現同學在找出活動所用的時間感到特別困難，他們往往會因為不同的原因而不知所措，就如有同學不能將起始時間準確地在鐘面顯示，部分同學則不知如何順向地撥動聯動鐘並數出時間量，有些同學則會混淆數一小時後是把分針指向十二，便過了一小時，經老師反思整個教學流程後，他們均認同學生必須熟悉聯動鐘的操作，能運用聯動鐘正確顯示幾時幾分，然後特別要求同學能順向地從不同難度的起始時間，如整點、半點、十五分、四十五分或其他如十七分、三十七分等，數出經過某時段，當中時段的選取亦由淺入深。首先數一小時後、半小時後，再到十五分、四十五分或其他如十八分、四十七分鐘等，再讀出完結的時間，整個學習過程務求讓同學清楚理解時針的走向，促使學生對找出時距的概念更有把握。觀課所見，老師在開始活動時必須首先要求每位同學撥對起始時間，再共同撥動指定時段，找出準確的終結時間。經過幾番練習後，同學才能掌握，並發現當中的規律。當整個過程熟習後，老師才提出度量時距的活動，此時則讓同學各自思考，運用不同的方法找出正確的時距。除此以外，老師還要求同學找出跨過上、下午的活動時距，同學都能成功地用自己的方法找出正確的時距，並懂得加以解釋，可見活動的成效。
三年級上學期，重點雖然在認識「秒」、 以「時」、「分」和「秒」報時、
以「秒」(s) 為單位，量度活動所用的時間及以「小時」和「分」、「分」和「秒」報告活動所用的時間。然而，由於去年課研觀課發現同學對時距的計算同樣感到困難，尤其當時距牽涉跨過上、下午的時間，故今年除延續二年級所學，同樣以聯動鐘及不聯動的鐘面顯示時間，協助同學繪畫時間，還重溫上、下午時間的表示方法，並刻意引導學生將上、下午時間正確地在一天的時間線上標示出來，引導學生運用時間尺顯示起始與終結時間，以解決跨過上、下午活動時距的難題。觀課所見，三年級同學明顯地對時間的觀念較強，能準確地畫出不同難度的時間，亦能掌握秒的量感，自行設計估測一秒的動作，只是當牽渉到表示深夜一時，同學往往會寫成下午一時，似乎並不能接受此時應為上午，於是老師運用時間尺協助同學理解，同學便欣然接受，至後期引導學生將上、下午時間正確地在一天的時間線上標示出來，同學都能輕易地運用時間線找出時距。
老師就一至三年級各時間課題的不同難點作了深入的探討，幾年的共同備課中，在時間教學嘗試採用了實物操作、繪圖法來貫通各級學習活動的設計，經過多次研課、觀課及不斷反思改良，累積了一些設計活動的經驗，希望透過分享會與其他老師交流，在教學上運用實物操作、畫圖協助學生建構時距概念，及讓學生透過探究活動建構時距概念及解答難題。
參考資料:
1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：香港印務局。
2. Davis, G., & Pitkethly, A. (1990). Cognitive Aspect of Sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 145-153.
3. Friedman, W. J. (1990). Children's Representations of the Pattern of Daily Activites. Child Development, 61, 1399-1412.
4. Piaget, J. (1969). The child’s conception of time. (A. J. Pomerans, trans.) London: Routledge & Kegan Paul.
5. Thornton, S. J.,& Vukelich, R.(1988). Effects of Children’s Undering of Time Concept on Historical Understanding. Theory and Research in Social Education, 16(1) , 69-82.
吳沛榮先生 (高級學校發展主任)
賴百誠老師 (中華基督教會基灣小學)
胡小偉老師 (中華基督教會基灣小學)
劉嘉麗老師 (中華基督教會基灣小學)
李蕙雲老師 (中華基督教會基灣小學)
在六年級的數學備課會中，老師發現學生在學習百分數這個課題時，往往會因為先前弄不清小數、分數和百分數的相互關係，引致他們學習百分數，以至在運算及解決應用題時，遇到了不少困難，加上學生在日常生活中亦較少接觸百分數，致使學生在解決有關應用題上更感吃力。
怎樣令學生學好百分數
小數和分數是代表相同意義的兩種不同符號，當學生對分數和小數的概念連結起來，才可以學習百分數。因此，小六學生在學習百分數這個課題時，必須先學習百分數和分數的互化、百分數和小數的互化，從中認識小數、分數和百分數的相互關係，最後再學習百分數的應用。由於當中所牽涉的運算步驟較為複雜，教學過程中，必須重視學生如何完成有關的運算步驟及解決應用題的策略。
根據學校過往的經驗，學生在應付常規問題上，都有不錯的表現，但當面對一些開放性的問題時，則表現一般。除此之外，老師發現學生在處理應用題時，學生只會採用一些既定的方法來解決，例如在分數比較的課題上，學生大多會採用通分母或把分數化成小數的方法來進行異分母分數的大小比較，較少學生會以1/2或1當中介值進行比較。這主要是由於學生在日常的學習中，過分依賴通分和分數化小數的策略來解題，反而失去解決問題的靈活性。此外，學生對分數和小數缺乏正確的量感，除了影響估算能力不足外，亦會影響學生判斷計算答案的合理性，所以在小數，分數及百分數進行大小比較的問題上，表現比較參差。
學生若慣於循着一些既定的策略來解題，便難以培養學生解決問題的能力。故此，中華基督教會基灣小學的老師加強了估算的教學來幫助學生建立分數、小數和百分數的量感，再加上增強課堂的互動，鼓勵學生從不同角度審視和解決問題，從而使學生對分數、小數和百分數的關係有較深入的理解。
老師從學生的解題和表述過程中，亦考慮到學生不同層次的思維，因而對百分數的教學重新調整，於是便把上述的教學工作從三方面著手：教材和教學的調適、促進數學課堂對話和加強學生對百分數應用題的理解，同時透過觀課、課堂錄影和學生習作的分析及測考的表現來檢視教學的果效。
教材和教學的調適
老師根據學生過往在學習小數、分數和百分數的相互關係上所出現的問題，設計了不同的課堂活動和課業，藉着課堂評估和觀察來檢視學生的學習過程，從而在教學上作出相應的調適，以配合學生學習上的需要。
由於中華基督教會基灣小學的老師早在學生就讀小四時，便開始以多元化的學習方法，幫助學生建構小數的數學概念，協助學生在這些概念與概念之間形成一些內部的網絡(Hiebert & Carpenter，1992)，加強了學生對小數的理解，所以學生在處理分數與小數互化的運算，都應付自如。即使後來的百分數與小數和分數的互化的運算和解決一些基本應用題上，也難不了學生。為了進一步加強學生解決應用題的能力，於是老師便在課業設計上，加強估算內容，讓學生進行小組討論，增進學生對分數、小數及百分數的適應性和量感。由於老師不斷鼓勵學生在小組討論和滙報中，互相討論問題及聆聽別人的講解，使他們對百分數的認識更加深刻，而老師透過學生的課堂對話，發現學生思考更加活躍，促使學生使用不同的方法解決問題。
促進課堂對話
學生透過互相討論，從不同角度理解和分析問題，共同商討解決問題的方法，加強了學生對數學概念的理解(Catherine C. Stein, 2007)，而Hufferd-Ackles, Fusion,and Sherin (2004)把數學課堂的討論分成四個級別(由級別0至級別3)，級別0是指課堂教學由老師主導，學生較少機會在課堂上進行進行討論，教學方法比較傳統，而級別3則大不相同，學習是由學生的思維出發，老師在課堂上的工作主要是促進課堂的討論，鼓勵學生進行討論及聆聽別人的講解，讓學生主動探究及發現有關的數學知識及解決問題的方法，這樣的學習模式有助於學生更加理解數學概念，有利於學生將來的數學學習。
為了促進學生的課堂對話，老師參考了級別2和級別3對教學的要求，在教學上作出調整，亦設計了不同形式的問題，鼓勵學生使用不同的方法解決問題。
學生分成四人一組，就着老師所提出的問題進行討論，商討不同的解決策略，老師在巡視課堂期間，觀察學生的學習過程，並且就着學生的對話進行回饋，協助學生從不同角度思考問題。學生在匯報的過程中，老師為了促進班中的對話，暫且保留個人意見，以免影響學生的想法，而學生在課堂討論中，更有興趣探討解決問題的策略。正如在「比較小數、分數和百分數大小」的課堂上，學生在小組匯報的過程中，其他組別的組員也主動參與討論及回應，而老師對於學生的積極表現也感到意外。
加強學生對百分數應用題的理解
用分數、百分數解決問題歷來是小學數學教學的難點，原因是百分數本身是為了方便比較才應運而生，而小學生在日常生活中根本很少接觸及應用，令他們在理解有關百分數的問題上產生困難，以下列的應用題為例:
「一枝牙膏原價25元，減價後的售價是20元，求原價比售價多百分之幾？求售價比原價少百分之幾？」
學生在日常的生活中，只會關注減價了多少，而不會理會原價比售價多百分之幾或售價比原價少百分之幾，加上學生甚至弄不清哪個是比較量，哪個才是標準量，在計算百分數時，根本不曉得是以原價作分母，還是以要售價作分母。如果只是要求學生死記硬背計算的方法，不但無助於學生理解問題，亦不利於學生培養良好學習習慣。
在處理這個問題上，老師過往的做法是在句中加入補充成份，使之成為完整句子以便理解，所以老師注重教學生怎樣補，而較少討論為什麼要這樣補，令學生往往知其然，而不知其所以然，不利於學生真正理解問題的內涵。現在，老師為了使學生明白這些比較式句子的含義，創設了不同的情境，使學生利用已學的“百分數的意義”的基本概念，通過問題中數量之間的比較，突出「多（少）百分之幾」問題的結構特徵（即指哪兩部分相比及如何相比），藉以表述出如何運用百分數來比較數量之間的關係。而在課堂活動的配合上，老師更讓學生進行小組討論、自擬應用題及解決開放式問題，加深他們認識和理解有關百分數應用題的句子，從而感知百分數作為比較用途的必要性。正如老師讓學生透過比較貨品不同的價錢，引導學生如何比較貨品價錢之間的差距，使學生能自由地表達意見，體驗問題表述的合理性，從而加強理解這些數量與百分數之間的關係。
老師在處理這次百分數的教學經驗中，體會到教學時必須將一些獨立而片面的數學知識結合起來，才能加強學生理解和解決問題的能力（Mansilla & Gardner, 1998）。正如老師要幫助學生建立對於小數、分數和百分數的一個緊密而深層的概念網絡知識，學生才能應付日後的應用題目的需要，而老師透過加強學生數學課堂上的對話，將有助培養他們的數學思考，令思維更加靈活。
老師從觀察學生的課堂表現、習作和測考的分析中，發覺今年六年級學生在學習百分數的應用題上，沒有以往同級學生那麼多問題，而過往常犯錯的題目，亦相應地較少，而學生所提出的問題和處理問題的方法，亦促使老師對數學教學作出更多的反思。因此，老師期望能夠通過這次研討會，與與會者分享他們對這次教學的百分百感受。
參考資料:
1. Catherine C. Stein (2007). Let’s Talk: Promoting Mathematical Discourse in the Classroom. Mathematics Teacher, 101(4), 285-289.
2. Hiebert, J. & Carpenter, T. P. (1992).Learning and Teaching with Understanding. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.65-97). New York: Macmillan.
3. Hufferd-Ackles,K., K. Fusion, and M. Sherin (2004). Describing Levels and Components of a Math-Talk Learning Community. Journal for Research in Mathematics Education 35, 81-116.
4. Mansilla V. & Gardner H (1998). What are the Qualities of Understanding? In Wiske, MS (Ed), Teaching for Understanding: Linking Research with Practice. San Francisco: Jossey Bass.
周凌俊韶女士 (高級學校發展主任)
郭慧儀老師 (光明英來學校)
樊偉基老師 (光明英來學校)
盧志偉老師 (光明英來學校)
視學所見有關「時間」學與教的現象
過去數年在質素保證分部視學組工作，進行了不少數學科重點視學，觀課已成為慣常的工作之一。多年來與視學組同儕的分享和交流，大家認為教師在教授「數」範疇的表現較佳，但在「度量」範疇的表現須關注的點子相對較多。
以小二「時間」這課題為例，觀課所見，教師除講解外，普遍也能透過撥鐘面活動，讓學生認識鐘面所顯示的時間。不過，不少教師往往因為教時所限，以致在詳細講解後未及推行活動，又或因學生進行撥動及繪畫鐘面等活動需時，影響教師原定的教學進度，未能總結及鞏固學生在活動中所學。學生學習方面，學生多能在教師指導下，按指示撥出正確的鐘面，並讀出正確的時間；但部分學生在畫鐘面時卻出現困難：有些徒手隨意畫出時針和分針，有些用了直尺畫出長短相若的兩支針，不少在畫如「六時半」的鐘面時，時針的位置往往指向「6」，與「六時」的畫法完全相同，更多學生未能掌握如何計算活動所需的時間。個別課堂上，教師派發給學生使用的並非聯動時鐘，試問二年級的學生怎能分別把時針和分針撥向正確的位置？因學生所撥的鐘面有所誤差，直接影響他們閱讀鐘面和畫鐘面的準確性。
學生在「全港性系統評估」中的表現
根據近年《全港性系統評估學生基本能力報告》(以下簡稱「報告」)，對學生在第一學習階段數學科「度量」範疇的表現，作了以下評論：
上表摘錄了學生在「時間的認識」的表現。報告的評論，正好與視學所見的情況互相吻合。
學生在小二「時間」單位上的學習困難
根據《數學課程指引(小一至小六)》，二年級上學期所學習的單位「時間(二)」較之一年級下學期的「時間(一)」，除學習內容增多了不少外，涉及的概念也較為複雜，如要利用「時」和「分」報時，而最多學生感到困難的便是利用「小時」和「分」報告活動所用的時間。
有別於長度、重量和容量等其他「度量」範疇的課題，「時間」課題的內容重點以生活應用為主，並非由直接比較，走向自訂單位，到最後介紹公認單位，那如出一轍的鋪排。學生除了要記年、月、日、星期、時、分、秒不同的時間單位，以及相應的換算公式外，又要把文字或跳字鐘報時，轉化為指針鐘面報時，對指針走動的正比例規律須有一定的理解。以上種種，對初小學生來說，無疑是沉重的負擔(馮振業，2010)。
學校的實踐經驗
跟光明英來學校的五位二年級數學教師進行共同備課時，他們指出學生在最初接觸鐘面時，多只留意到鐘面上的兩針和印有12個數，往往忽略了鐘面上的刻度。既然學生對印有刻度的圓形鐘面較難掌握，因此教師便特意「解構」鐘面。他們利用透明膠水管，仿照鐘面在膠水管畫上刻度，然後圍成如鐘面外圈，儼如時鐘似的；教師再把膠水管拉直，就成學生所熟悉的數線。透過數線設計，讓學生明白鐘面上的刻度其實也是一條圍成圓形的數線，有助他們掌握閱讀鐘面的技巧。經過觀課和反思後，我們在教學策略上作了修訂：由過往教師作展示改為由學生親身操作。學生先在獲派發的工作紙上，回答了一些有關鐘面的基本問題，然後在每五小格為一大格的數線上，分別寫上有大格和小格的數目，再以這數線圍成鐘面外圈，加上時針和分針便自行製作了時鐘。透過上述活動，學生更清楚掌握鐘面上刻度的意義，即時針走了1大格代表1小時，而分針走1大格代表5分鐘，這對他們日後的學習建立了一個穩固的基礎。
部分學生在畫時針和分針時，忽略了時針相對分針的正確位置，主要是他們對指針走動的規律不理解。針對這問題，同時考慮到小二學生的智能發展，我們決定以「觀察-記錄-討論」的形式，為學生安排學習活動：學生先觀察如2:00、2:30、2:15、2:45等不同時間時針和分針的位置，然後記錄各個時間兩針的位置，再由教師帶領學生討論，讓學生發現隨著分針的走動，時針相對分針的正確位置。從觀課所見，不少學生在完成上述活動後，已能掌握相關技巧，但仍有小部分學生的表現未如理想，需在三年級學習「秒」這課題時，再加以鞏固。
最多學生感到困難的內容，即利用「小時」和「分」報告活動所用的時間，主要是他們在日常生活中甚少報讀時間，更何況利用「小時」和「分」量度活動的時間！在處理這難點時，我們決議除利用撥動鐘面，教導學生一邊將時鐘由活動開始時間撥至結束時間，一邊以數數方式量度出活動所用的時間外，還以線段圖作為輔助工具：在標示活動開始時間和結束時間後，學生運用時間線便得知時距，從而找出活動所用的時間了。蕭毓秀、鍾靜(2002)的研究中指出，由於許多學生不清楚時間是連續不斷的，或無法區分時刻的先後，因此建議教師可嘗試運用線段圖來展現時間的連續性，透過標示不同時刻的位置，讓學生了解時刻和時距的關係，以建構完整的時間概念。
累積了多年的視學經驗，觀看過不少有關「時間」單元的教學片段，在與光明英來學校的教師進行共同備課時，除分享視學所見的現象，對教師教學作一些提示外，也跟教師共同分析學生的學習難點，一同探討相應的教學策略，並透過觀課、反思和修訂，優化教學設計。希望藉此機會，跟大家分享在「時間」這課題的教學上，透過實物操作和運用線段圖，讓學生建構時刻、時距等抽象概念，並解答相關應用題。
參考資料：
1. 香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
2. 香港考試及評核局(2007)。《2007年全港性系統評估學生基本能力報告》。香港：香港考試及評核局。
3. 香港考試及評核局(2010)。《2010年全港性系統評估學生基本能力報告》。香港：香港考試及評核局。
4. 馮振業(2010)。時間教學的疑難和困擾。《數學教育》29期，2-9。
5. 蕭毓秀、鍾靜(2002)。《國小學生時間文字題的解題研究》。檢索日期2010年12月23日，網址 http://203.71.239.20/mediafile/ editor_file/217/02.pdf
