以行求知 - 學與教‧思與情 - 前言 -數學
數學學習領域
「除」機應變 ── 調適除法教學策略，提升學生探究能力
羅漢輝先生 (高級學校發展主任)
李明佳老師、彭奮強老師、張淑儀老師 (農圃道官立小學)
根據課程發展議會所制定數學教育學習領域課程指引(2002)，數學是一種思考方式，是協助掌握其他學科的工具。數學科課程的宗旨是培養學生的構思、探究、推理、建立及解決問題的能力。由於思考能力是不能憑空發展的，數學課程需要重視數學的內容和學習過程 (頁iii) 。要發展學生的探究能力，是一個漫長的過程，教師不能只滿足教授個別課題的概念和公式，更應提供機會讓學生運用已有知識，學習其他相關課題，延展數學能力。教師為學生創造學習機會，讓他們觀察、分析、發掘或建構知識，鼓勵他們在學習過程中扮演更積極的角色；學生透過探究數學問題，運用數學思考尋求解決問題的方法，並能在不熟悉的情況下嘗試解決數學問題，加強學習自信，並提升學生的探究能力。
在小學數學課程裡，「除法」是學生其中一個較難掌握的課題。學生從二年級開始接觸除法的基本概念和簡單運算，三和四年級進一步學習除法的運算步驟和技巧，在五和六年級運用除法計算分數和小數的問題。根據課程發展議會的數學課程指引(2000)，小二至小四除法課題的單位和學習重點包括：
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單位 |
學習重點 |
| 二年級 |
2N6 |
1. 認識除法概念─等分和包含 |
| 三年級 |
3N4 |
1. 運用短除法進行基本除法計算 |
| 四年級 |
4N2 |
1. 進行除數兩個位，被除數兩個位的除法計算 |
小學除法強調學生透過符號記錄實物操作的過程，逐漸由具體的操作過渡到抽象符號的運算，以掌握數學系統的規律和結構，從而提升他們的探究能力，以及培養嚴謹的學習態度。
為甚麼要關注除法
Ma(2010) 指出數學概念不是孤立的，而是互為關連；這些數學概念形成不同的網絡，四則運算是這網絡內的道路系統(road system)，是通往各概念間的途徑。所以，教師在教授個別數學課題時，需要關注所教授的課題與其他課題的聯繫。在四則運算中，學生一般較能掌握加、減和乘的概念和運算，但對除法的掌握則未見穩固，這基礎會影響學生學習與除法相關的數學範疇，如代數方程和速率。
近年，全港性系統評估報告顯示學生在除法的學習表現尚待改善的地方，包括：
一、學生懂得除法的計算技巧解答問題，但在列寫數式時，卻混淆「除數」和「被除數」。
二、學生不懂得在商的十位寫上「零」，而錯誤地將「零」放在個位。
三、當涉及除法應用題時，學生未能準確理解除法所得的商及餘數的意義，學生把商當作答案，而忽略處理餘數。
探討學習除法的困難
農圃道官立小學的數學科教師除了參考全港性系統評估報告，亦分析學生對學習除法的表現，發現有以下困難：
一.學生尚未透徹掌握除法的「均分」和「包含」概念，以及兩者的關係。Greer(1992) 指出教授數學課題時，須揭開隱含在該課題的數學概念，如學習除法要掌握當中所隱含的「等組」 (equal groups) 和「等量」 (equal measures) 概念。在學習初小除法時，學生需要清晰理解以下四類與除法相關的情況，才能對除法有充分的理解：
-12 個橙平均分給3 個人，每人可以分得多少個？ [等組均分除法]
-每人給4 個橙，12 個橙可以分給多少人？ [等組包含除法]
-4.2公升的橙汁平均分給3個人，每個人可以分得多少？[等量均分除法]
-每個人分給4.2公升的橙汁，12.6公升的橙汁可以分給多少人？ [等量包含除法]
農圃道官立小學的教師在教授小二學生除法時，依循教科書的編排，透過分物遊戲等實作活動，了解均分和包含兩種操作的過程，惟學生對這操作背後所隱含和需要掌握的概念，未有足夠理解。另外，學生對除法的掌握，較能表達均分概念，惟對包含概念略為模糊。教師發現學生在初小階段若未能充分理解包含概念，會影響他們在高小階段學習除法的課題，例如在小五學習分數除法時，學生未能以包含概念掌握分數除法的意義，以致對分數除法的計算方法和步驟感到困難，因為部分的分數除法的內容不能以均分概念作闡釋。
二.學生尚欠有系統的學習工具，持續發展探究能力，以加深對除法的理解和掌握。為學生提供有系統的思考訓練，並以數學問題作為探究場所，能促進學生的學習參與，使學習不是被動接受，而是主動探求，除了使學生掌握數學的知識，亦能培養學生的探究和解決問題的能力。Huinker (2004) 指出數學的意念(Ideas)、概念(Concepts)和步驟(Procedures)不是孤立的，而是互為關連；數學概念就是處理問題的依據和基礎，數學步驟表達解決問題的過程，而數學步驟是由數學概念所指導的。過去多年，農圃道官立小學依循教科書的編排，在小二運用分物遊戲，引導學生認識除法的基本概念和運算，惟分物活動較少在小三進一步使用，以掌握除法課題，如一位數除三位數的計算；相反，教科書側重指導學生除法運算的步驟，如橫式和長除法，再通過練習加以鞏固。這樣，學生缺乏持續運用分物活動，作為探究除法計算的思考工具，以掌握除法的課題，如小四整除性、小五分數除法等課題。
三.農圃道官立小學發現學生進行基本除法計算，如一位數被三個位的除法計算，計算步驟多以模仿教師課堂上的示例，惟對於解題過程所蘊含的意義卻不了解。探其原因，學生除了未能充分明白每一步計算的意義外，亦未能聯繫除法的運算步驟和分物活動的操作過程，影響學生掌握位值、退位減法等概念，以致學生在長除算式中忽略「補零」和退位減法等步驟。另外，學生對處理除法的餘數尚欠有效的策略，特別應用題的「最多」和「最少」等問題。
共同備課如何提升對除法的掌握
為提升學生對除法的理解，農圃道官立小學的教師檢視學生在校內外的評估數據，發現學生對除法的基本概念較弱，運算步驟亦常出錯，更未能以準確的數學語言表達除法的內容。因此，學校透過共同備課，檢視校本課程的除法課題，分析學習難點和釐清課題的學習目標，並修訂教學策略，從而提升教學效能。農圃道官立小學制定教學策略，當中發展重點包括：
一、強化除法的「均分」和「包含」概念和兩者的異同
二、加強「分物活動—運算步驟—數學語言」的聯繫，作為學習除法的思考架構運用思考架構，掌握除法課題
三、加強掌握除法「均分」和「包含」概念
教師為加強學生掌握除法的「均分」和「包含」概念和兩者的異同，以及這操作過程所隱含的概念。在二年級學習除法的概念，教師利用分物活動，幫助學生掌握「均分」和「包含」兩種分物方法，設計探究活動，加強同儕協作，並比較這兩個概念的異同。另外，教師加強數學語言的訓練，使學生能準確表達除法內容，如分物活動內的被除數、除數和商的關係。此外，教師利用圖示法，除教導學生掌握「均分」和「包含」操作，透過實物處境理解乘除式的互換，加強學生對乘除關係的連繫。
加強「分物活動—運算步驟—數學語言」的聯繫
教師在教授二至四年級的除法課題時，除以分物活動作為學生掌握除法的思考工具，並著意加強「分物活動—運算步驟—數學語言」的聯繫，讓學生透過探究，尋求解決問題的方法，深化理解。在三年級教授一位數除二位數時，教師運用分物活動，聯繫除法的運算步驟和分物活動的操作，使學生理解計算中每一步驟，與分物活動的對應，並強化數學語言的運用，從而加深學生對除法運算、分物活動和數學語言的聯繫。
運用思考架構，掌握除法課題
基於學生所掌握的思考工具和數學語言，在四年級處理除法應用題的餘數，教師以分物活動幫助學生理解餘數的出現，能幫助學生解決應用題所見的「最多」和「最少」等問題。另外，數學科教授應用題的解難策略，透過審題，如圈出關鍵字、剔除多餘資料，理解題意，綜合運用知識和發展探究能力，加深學生對除法的理解。另外，教師會運用學生所掌握的思考架構，促進學生掌握其他的除法課題，如小五的分數除法、小數除法等。
農圃道官立小學期望透過分享會，分享共同備課如何帶動校本課程和教學策略的轉變，提升學生對除法的理解和掌握。當中，分享重點包括：如何運用校內外的評估數據，檢視學生學習除法的困難，制定跟進策略；如何調適除法課程，加強學習重點和教學策略的連貫性；如何為學生提供有系統的思考工具，持續地發展學生的數學思維；如何透過同儕觀課和課後研討來檢視學生的學習過程和表現。
參考資料
1.Liping, Ma（2010）. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J. : Lawrence Erlbaum Associates.
2.Territory-wide System Assessment Report on the Basic Competencies of Students. Retrieved from http://www.bca.hkeaa.edu.hk/web/TSA/en/SecTsaReport.html.
3.Huinker, et. al (2004).Unpacking Division to Build Teachers’ Mathematical Knowledge. Retrieved from http://www4.uwm.edu/org/mmp/PDFs/Unpacking%20Division%20article.pdf
4.Greer, Brain (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. in Grouws, D.A.(1992),ed. Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning. MacMillan.
5.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
6.香港課程發展議會(2002)。《數學教育學習領域課程指引》。香港：政府印務局。
費煞思「量」─ 小一至小三長度教學縱向課程設計分享
曾倫尊女士 (高級學校發展主任)
黃鳳珠老師、鄒立明老師
陳巧卿老師、冼文標老師
(鳳溪第一小學)
在香港的小學數學課程中，根據《數學課程指引》(2000)，長度和距離是度量範疇中的一大課題，在一年級至三年級的學習重點中，長度和距離共佔了度量範疇約30%的建議教節，可見長度和距離概念的學習是數學學習領域中極為重要的一環。然而長度和距離以及其單位對學生而言都是抽象的名詞，學生還需要在完成各級相關課程後掌握以下能力:
一、選擇和應用非標準單位來記錄基本量度活動的結果；
二、理解應用標準單位的需要；
三、選擇適當的量度工具及標準單位；
四、綜合數、度量、圖形與空間的知識，解決簡易量度問題。
量感的認知發展
鳳溪第一小學的老師均認為若要學生掌握以上能力，必須培養學生有足夠的量感，量感的培養必須在縱向課程中螺旋式地滲入及鞏固，並需要理解各階段學生度量概念的認知發展（王麗娟, 2000），例如 : 學生首先透過感官感覺長度，初步掌握長度概念，然後能夠直接比較兩個物件的長度 ; 老師在引入間接比較物件長度時，必需讓學生真實地運用物件進行間接比較，認識間接比較時，需要排列相等長度的中間人，進而體會「單位」的基礎，初步理解單位的操作及其標準化的需要，到真正介紹厘米、米、公里及毫米，同學會更明白單位大小的意義及用途。最後當同學掌握好各單位的概念後，便可對兩個量進行化聚。
縱向課程設計
鳳溪第一小學老師參考了各階段學生對長度概念的認知發展程序後，嘗試在課程設計上縱向地強化學生對各長度單位的量感，亦加強學生運用身體永備尺的認知，作為有效地估測的依據，再動手實際量度。老師就一至三年級提及有關各長度課題的不同難點作了深入的探討，兩年的共同備課中，在長度教學嘗試加強了量感的培養和實物操作，來貫通各級學習活動的設計，經過多次研課、觀課及不斷反思改良，累積了一些設計活動的經驗，希望透過分享會與其他老師交流。
長度概念的初步建立
對於一年級上學期的學生，他們對長度的初步概念只能透過感官感覺，幸好長度是學生最容易保留在腦中作為參考的度量，也是最容易操作的量，但他們較難理解單位的概念，學生對單位的量感非常薄弱，因此老師透過活動讓學生直接操作兩個物件的長度，學生從直接的操作經驗，體認長度和距離比較的意義。然後老師再引入間接比較，即對無法比較的物件的長度，透過排列中間人(例如：萬字夾、數學書等)，利用中間人與另一物件的長度進行直接比較，從而推論哪個物件長度較長，整個過程學生需要保留中間人長度的概念，並運用排列相等的中間人，數出各物件包含中間人的數量，作為直接比較。當中老師還特別加入多一件物件作比較，令學生經歷三個長度的比較，即是將三件物件分成兩組比較，再將結果推論，排列出三個長度。部分學生對抽象的邏輯推理關係明顯地感到困難，於是老師讓學生從觀察中知道小明比小華矮，小華比小英矮，從而得出小明會比小英矮。另外老師從不同的活動中發現學生在運用中間人或自訂單位進行先估計後量度、處理以個別單位為基礎的長度合成活動及選擇合適的自訂單位進行量度都會感到不同程度的困難，需要在下學期再次加強。
從自訂單位到標準單位
到下學期，老師首先要重溫上學期所學，利用課室學習的情境，重溫先估計後量度，讓學生自行選擇運用中間人或合適的自訂單位進行估計及量度老師桌子的高度。老師刻意選取兩位同學的結果作比較，他們各自運用不同長度的鉛筆作自訂單位，量出書桌的高度分別為「小強的8枝鉛筆」及「小娟的6枝鉛筆」。老師刻意地製造矛盾，讓同學理解老師的桌子高度是一樣的，而同學量度出「8」和「6」不同的數量，是因為小強鉛筆的長度和小娟鉛筆的長度不同，並且知道「6」之所以小於「8」的原因，是因為小娟的鉛筆長度大於小強的鉛筆長度。老師利用此活動引導學生認識使用公認單位的需要，進而引入標準單位「厘米」。學生在間尺上認識刻度的結構，亦是他們建立1厘米量感的起點，老師需要引導學生測量身體的永備尺，如運用手指的寬度(約為1厘米)作為以後厘米量感估測的基礎。在以厘米為單位比較及量度物件的長度和物件間的距離時，學生便懂得選擇合適的永備尺手指來進行估量，再以間尺真正量度並驗證。另外老師亦發現學生在使用自備的間尺進行量度，會遇到種種困難，例如各種不同類型間尺「0」的位置不同，同學使用間尺時未能注意對齊「0」，再報讀尺上對應的數字，此外，在量度時不強調毫米的刻度，僅需報讀厘米的刻度。所測量物件如果不是整數厘米單位，則以「大約多少厘米」做報讀。
學生在量度的迷思
老師亦會讓學生經由長度之經驗，學習如何在數線上做比較與加減運算，由此為學生建立整數與有理數的整合，作為日後學習負數、實數、幾何的基礎。例如：如果一把斷掉的尺，無法從「0」對齊時，若所測量的物件是從刻度7到13，學生會錯誤地在間尺上由7數到13，並認為該長度是7厘米。
事實上，這個物體應由7到8為1厘米，如此類推數至12到13共6厘米，而並非數間尺上的數字7、8、9 ‧ ‧ ‧ 、13。最後老師會強調量的估測活動不是實測的近似值，而是培養量感的活動，有好的量感，對日常生活很有助益，如果要訓練同學能在不使用正式測量工具的條件下，估測量的大小，老師必須將量的估測與量的經驗建立密切的關係，同學做估測活動時，亦應注意單位的合理性。
由「厘米」認識「米」
在二年級，老師同樣地讓學生先理解使用公認單位的需要，然後認識「米」(m)，再在量度及比較物件的長度和物件間的距離前，強調學生需要先選擇合適的永備尺進行估量，並選擇合適的量度工具，作真正的量度。二年級引入「米」時，老師會設計與生活情境相結合的活動，先從學生最常用的單位開始，重?間尺上「厘米」的刻度結構，讓學生延伸所學至100厘米，從而引入較大單位「米」的需要。整個過程必須從具體到抽象，發揮實物和教具的作用，引導學生動手做。在實際量度物件的長度及高度前，必需讓學生先以身體的永備尺作估測的根據，先估計以訓練對「米」的量感，再引導學生實際測量身體，找出最接近1米的永備尺，如量度兩手展開的寬度約為1米，作為以後「米」量感估測的基礎，再選擇適當的工具，然後量度，正確讀出量度數據及單位，作為驗證。老師在安排實際量度活動前，必需讓學生認識各種量度工具如 : 間尺、米尺、卷尺、拉尺或滾輪的使用方法，如何準確地報讀量度結果及其優缺點。學生在認識「1米＝100厘米」的關係並理解其意義後，在真正量度時便可應用單位換算。在測量時，可讓學生自然地用複名數來描述測量結果，然後再進行換算以記錄測量值。例如：小明的身高為1米23厘米，也可以寫成123厘米。
由「米」認識「公里」
在三年級，同學對1公里的量感特別難於建立，老師必須讓學生隨生活經驗的擴充，延伸到更大的單位「公里」(km) ，老師於是刻意安排同學在校園範圍自行設計1公里的路程活動前，老師首先讓學生在谷歌地圖網頁1公里路程的長短。同學由學校正門出發，按?網頁提供的路程，一起模擬走到上水火車站，全程約為1公里。之後，學生再在學校校園地圖上設計1公里的路程。老師首先讓同學分組在班房內按地圖上提供的距離計劃路程，再真正走到校園驗證設計，然而在計劃路程時已發現同學遇到困難重重，同學對處理1公里長的路程只懂得運用地圖上提供的距離作連加的運算，務求將答案計算至1公里便完成任務，根本沒有理會如何走這段路程，另外同學亦不能靈活地將路程重覆以建構1公里的路程，老師必須要引導學生可將1公里分成10段100米、5段200米又或4段250米的路程，適當地重覆計劃的路程便可。經此一提，同學便能較快地完成設計。真正走到校園驗證設計時，老師發現同學設計的路線所估計的距離，與真正量度的距離相當接近，經老師查看後，同學便可繼續走指定重覆的路程，真實地感受1公里路程的長度。最後老師還引導學生認識任何的量度結果都是近似值，令學生明白量度的近似性質。量度的結果都只是近似性質，無論選取多細小的標準單位作為量度單位，仍無法找到量度結果的絕對值，因所選取的量度單位還可細分，所以量度的結果實有賴於所要求的準確度。
由「厘米」認識「毫米」
當老師要求學生提升量度的準確度時，便能順理成章地引入「毫米」(mm) 。老師特別設計不同長度線段的比較，由粗疏至精密，讓學生體會最小標準單位的需要。過程中，老師發現同學對?讀細密的毫米感到困難，亦會用小數表達答案，例如將17 mm的長度表達成1.7mm或cm，可見同學對毫米的量感尚未建立，於是引入一角硬幣的厚度約為1mm，讓同學具體地掌握1毫米，亦重提1厘米約為手指的寬度，強調1厘米包含10毫米的關係，到量度實物時，同學的表現明顯進步，不會再混淆兩單位。最後，老師會重申四個單位的特點、用途及相互之間的關係，亦會進一步要求同學以直觀估計物件的長度和物件間的距離，藉此考查同學對各單位量感的掌握。
整個縱向課程約實施了兩年，經過多次?課及觀課的反思及優化，老師均認為應加強同學的量感培養，在教授每個單位時都引入估量的標準，讓同學具體地掌握每個單位的量感，再設計合適的量度活動，在量度前必須先估量，並選取適當的單位及工具才進行真正量度，當同學完成量度，還要求同學準確地讀出讀數及單位，以加深同學對單位的認知。兩年來，老師以同樣方式連貫了三級的長度教學，大家都感到同學對各單位的量感明顯地增強，再不會胡亂量度及讀出不合理的讀數，或配以不適當的單位，效果令老師非常滿意。
參考資料
1.王麗娟(2000)。《數與量教材探討》。網址：www.tkes.tn.edu.tw/math/92year/數與量教材探討.DOC
2.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：香港印務局。
非華語學童的數學學習歷程──從數數到加法和減法(小一至小二)
吳沛榮先生 (高級學校發展主任)
陳嘉儀老師、莫漢威老師、李寶寶老師(伊斯蘭學校)
學者Aubrey(1993)認為當孩子上學時，他們已經具備了不少關於數字概念的非正式知識，而Bryant (1997, 頁67)亦指出「孩子入學之前，他們早就開始學習，當他們入學時已經知道一部份事情，但?對不是所有事情，所以在他們進入課室之後，我們必須找出孩子的知識中哪些東西可能對他們造成影響」，例如：老師在教授「位值」時，必須了解學生是否掌握了讀數和數數的方法，而對數字組合的認識又有多少。由於這些數學知識，對於不同文化背景或者不同能力的學生都會有不同的表現，老師在教學上若果不能配合學生的已有知識，便難以輔助這些學生學習「位值」的概念，以至運算能力的發展。
由於非華語學童是來自不同的國家，有著不同的文化背景，加上學生來自不同類型的幼稚園，對數學的認識及理解，早已存著不同程度的差異，要老師找出哪些東西對他們的數學學習造成影響實在不容易，所以當這些學生從幼稚園升上小一後，任教這些學生的老師經常會發現他們對於1-20的認識，有著不同程度的差異，尤其對於數數、數字和數量的關係和18以內的基本組合上，學生的學習表現比較參差，所以老師在教授加法和減法時，便感到困難重重。有見及此，伊斯蘭學校的老師，早在學生入讀小一時，便從1-10開始，重新幫助學生學習數數、讀數、識別和書寫數字，藉此建立正確的數數技巧、書寫數字的讀法和寫法，以至1-10的基本組合，除了認識他們的文化背景如何影響他們學習數學外，最重要的還是要幫助學生建立好這些基礎的數學知識，再按著學生的學習表現，設計日後加減法的教學策略，幫助學生掌握基本的運算能力。
數數、讀數和寫數的學習與文化背景的關係
當幼稚園學生升上小一後，按著課程的要求，他們都會學習「10以內的數」和「20以內的數」，當中包括數數、讀數和寫數的過程來建立1-20的讀寫能力，然後再學習順數、倒數、單數、雙數、序數、基數及以一一對應的方法比較兩組物件的多少，最後才學習18以內的基本組合 (香港課程發展議會，2000)。當學生熟習1-18的基本組合之後，便會開始學習基本的加法和減法。對於本地學生，學習「1-10的認識」到「1-18的基本組合」一系列的內容，並不困難。但對於非華語學童，由於語言上的問題，加上部份學生沒有入讀或完成本地幼稚園的課程，學生打從1-20的數數開始便出現了學習問題，而當中甚至有學生不能依次序地唸出1-20來，表現出學生未能掌握數數的技巧，所以伊斯蘭學校的老師在教授學生以英語數數時，便從最基本的步驟著手，重新以唱遊的方法先教導學生唱數，然後一邊唱一邊拿著玩具，拿一個玩具就唱一個數，然後逐步建立學生數數的能力，這樣一來，老師便要花上一段時候來教學，相比起本地學生來說，非華語學童的學習數數的時間亦因此比較多，而為了照顧學生的學習需要，伊斯蘭學校的老師更在有關教學時間、學習內容和教學策略上重新作出調整和分配，以配合學生實際上的需要。
非華語學童對於數學學習感到困難，其中一個原因是由於文化差異所造成。由於非華語學童有自己的語言和生活文化，他們雖然生活在香港，但同時受著家人、親戚和朋輩的影響，對數學學習上，有時仍然會採用一些自己本土的學習方法，這些方法有別於本地老師的教導，令學生的學習出現混淆。除此之外，在數學符號方面，巴基斯坦的數字「6」，寫法與阿拉伯數字的「4」相若，但學生寫起來卻像「9」，而尼泊爾數字「9」卻與阿拉伯數字的「5」相若，故此，老師若不了解不同學生的文化背景，便會很容易誤把學生正確的答案為錯誤。
在數數和寫數的配合方面，由於大多數學生是以英語學習數學，因此造成數字語言方面的障礙，例如在學生的習作中，老師不難發現當學生寫到13到19時，先寫右邊的數字（但20以後就會從左邊開始寫數字），而在讀數時，學生有時會從右邊到左邊讀出兩位數，例如看到27便讀成72，這主要是南亞裔學生的本土語言，在讀兩位數時，有時是先讀個位，然後讀十位所致，因此語言的閱讀障礙，亦可能是令學生在辨認為書寫數字上感到困難的原因，因此老師若不了解，重新引導學生分辨英語讀兩位數字的次序與他們的讀法有所不同時，學生便會容易在「位值」的問題上容易產生混淆，影響學生學習加法和減法。
在數數方面，中國人習慣利用數手指(counting with fingers)學習數數，數數對於將來學習個位和十位的概念比較容易，亦有利於學習五個一數和十個一數的估算，但對於南亞裔學生來說，他們自小便受老師和家長教導，以數手節(counting with finger joints)來學習數數，雖然雙手能數出三十來，但不利於學生學習位值的概念和五個一數及十個一數的估算。根據Zaslavsky的研究，這種數數的方法流行於印度，稱為agnee ka perva，即是用手節來數數，對於當地一些文化水平偏低的人會用來進行運算，例如﹕以向上數(count-on)的方法來找出兩個數的和，利用重複加倍(repeated doubling)的方法來進行乘法及重複減半(repeated halving)的方法來進行除法(Zaslavsky, 1996)。老師若不了解學生背後的數數及運算模式，在教學上自然不能配合他們的學習習慣，從而產生不少衝突，學生亦因此跟不上本地學習內容和進度。
加法的學習
Foster(1994)所提出的四個加法學習階段，以頭兩個最為重要，即是：
一、從頭數(count-all)﹕兩組物件放在一起，由頭數一遍。
二、向上數(count-on)﹕先數出一組物件的數目，然後心中記著這個數目，再接著向上數第二組物件的數目，最後數出的數目便是這兩組物件的總數。
一般而言，本地學生不難掌握這兩個學習階段，但對於非華語學童來說，學習差異問題則較大，他們對於數序和數字與數量的關係上，認識比教薄弱，所以在第二個階段時已經出現嚴重的障礙，不少學生仍然停留在第一個階段，仍需要用畫圖數數來進行計算，有時甚至連順數和基數的認識還未掌握得好。為此，老師便設計不同的教學活動，例如數錢幣、數朱古力和唱數遊戲，以協作和比賽的模式進行，儘快幫助學生過渡第二階段。在加法的運算策略上，老師更嘗試先引入「合十法」，幫助學生掌握10的組合，然後再幫助學生以合十的技巧來學習11-18的組合，伊斯蘭學校的老師在教學過程中，亦發覺學生有不同的學習表現，部份學生對於個位加法的表現也不理想，但對於能力較好的學生，卻根本不需要這種方法，便能找出答案，老師認為主要原因，取決於學生的數數技巧是否熟練，1-18基本組合的教學方法是否適當，練習是否足夠，而倘若學生不能掌握1-18的基本組合和基本加法的知識，將會直接影響學生學習進位加法的果效。對於基本加法的學習方法，老師亦表達出不同的意見並且進行討論，有關的教學方法可參閱附件。
減法的學習
相對於加法來說，減法的學習策略主要有一種是往下數或往後數(count down or count back)。對於減法，伊斯蘭學校的數學老師提出了不同的教學方法(詳情請參閱附件)和意見，尤其是對半心算（減十法）和扣數法，有較多的討論，不同的學生有不同的學習表現，很難說那一種較為優勝，至於倒數法，大部份老師都認為學生倒數的能力較弱，不宜採用；至於能力較弱的學生，則仍然採用畫圖刪去法，顯示學生仍停留在具體的數數階段，令老師感到很懊惱，必須重新教導學生1-10的基本組合和「合十法」，幫助他們掌握10以內的減法，至於11-18以內的減法，先通過數數、讀數和寫數，認識11-18，再認識11-18的基本組合後，才學習18以內的減法，而如果學生不能熟習有關的基本減法，當學生在小二學習退位減法，便會產生很大的問題。當然，能力較高的學生，能夠憑著對11-18的組合的熟練程度，就可以不假思索地找到答案，而這些學生在小二學習退位減法時，所面對問題亦相應地少。然而，各校的學生都有不同的表現，主要是視乎學生對基本加減法的掌握情況，同時亦與學生的學習習慣有關。
由於小一至小二的加減法，是整個小學數範疇的根基，學生對於這些知識若果掌握得不好，將會嚴重地影響他們日後的數學學習，而南亞裔學生在學習有關的課題時，卻表現得較為參差。為了解決這個問題，伊斯蘭學校任教小一和小二的數學老師，在過去幾年，亦已就著這些課題，依據著學生的能力和已有知識，設計及嘗試了不同的教學方法和教材，希望他們能夠儘快學好加法和減法之後，可以應付日後學習上的需要。在這次的數學分享會中，老師使嘗試把這幾年的教學經驗和感受，與業界同工一同分享。
參考資料
1.Aubrey,C.(1993). An investigation of the mathematical knowledge and competencies which young children bring into the school. British Educational Research Journal. 19.1,27-41.
2.Bryant, P.(1997). Mathematical understanding in the nursery school years. In Nunes,T. and Bryant, P. (eds). Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective. 53-68
3.Foster, R.(1994). Counting on success in simple addition task. Proceedings of the 18th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. 2, 360-7.
4.Zaslavsky, Claudia (1996). The Multicultural Math Classroom: bringing in the world. Heinemann.
5.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
附件
「分」外有理－探討小三分數基本概念的教學點子
周偉志先生（高級學校發展主任）
周靜怡老師、嚴智琪老師、葉展漢老師（拔萃小學）
如何建構學生對分數的概念理解一直是數學教育工作者的關注問題，分數的基本概念在本港的小學數學課程指引中屬小三的課題(香港課程發展議會，2000)，學習重點包括：
一、認識分數作為整體的部分及一組物件的部分
二、認識分數與1的關係
三、比較同分母或同分子分數的大小
拔萃小學的老師在討論分數這課題時討論到學生在解答有關分數概念的問題時似是一知半解，例如他們會誤判一些圖形是否分成若干等分，又例如他們對找出一組物件的部分數量會有困難，在討論過程中，我們先互相釐清大家對分數基礎概念的認識，其實在發展不同數學課題的校本課程時，老師對不同概念的理解很多時會影響他們如何理解學生的表現及構思適切的教學策略，以下是我們曾討論過的一些問題。
分數學習在取向上有所轉變嗎？
在十八及十九世紀時，由於商貿活動發展迅速，計算工具也沒有現今的先進，故分數的運算在數學基礎教育中佔了很重要的位置，但隨著數學教育的發展，分數學習的取向已轉變為強調概念的理解。其實教育學家在二十世紀早期引入了對分數概念理解的革新看法，就是以整體和部分的關係作為學習分數的基本概念，而皮亞傑（Piaget）乃是首位探討孩童如何從分割圖形中建構分數概念的學者。雖然如此，現今教師仍重視教授技巧多於概念，這也令學生忽略理解分數的意義，導致他們在分數的表現未如理想，這情況或許也可反映本港一些數學課堂的情況。
分數有多少種不同的概念呢？
Kieren（1980）提到分數可分為五種不同但互有關連的概念，就是部分與整體的關係、量度、運算、除數及比和比例，而在分數的基礎概念中，部分與整體的關係及量度均為其他概念的發展基礎，在本港的教科書及課堂中，均較強調部分與整體的關係，而較少從量度方面引入概念，在理解部分與整體的關係時也偏向要求學生從整體中找出部分，而忽略了從部分中找出整體，這令學生未能較全面地理解分數的基礎概念。
分數能以哪種形式理解？
正如課程指引提及，分數可作為整體的部分及一組物件的部分，當我們以摺紙形式表示一圖形的部分時，我們是以面積來理解一個分數，當我們以數數方式表達一組物件中的部分時，我們是以數量來理解一個分數。兩種形式的表示均在課本中出現，但均偏向以正例子作出介紹，而忽略以反例子讓學生多從分辨中鞏固對概念的理解；而在一組物件的表達中，同組物件也排列得很整齊，學生也會忽略了數數的重要性。此外，我們認為有另一種表達方式是較被忽略的，在課程指引的第三點中，學生需比較分數的大小，在這情況下學生要以分數的值來作比較，上述提及以一件或一組物件的部分作為表達方式均未能有效地讓學生過度至數值的概念；反觀如以度量中長度的概念引入，則較為配合學生習慣在數線上表示數值的方式，以長度來顯示分數，學生可較容易作出估計及檢視解題過程。
應以何種實物或圖形作操作活動？
老師普遍透過圖形與實物操作協助學生建構分數的基本概念，數學教育家最初較常以分割圓形作學習活動，認為圓形較有整全的概念，後來發現應讓學生多從不同圖形中加強理解，這些圖形的等分活動已常作學習分數的課堂活動。圖形分割只能讓學生建立分數作為整體一部分的概念，而要建立分數作為一組物件一部分的概念則要從數實物（例如：數粒）中學習，但很多時老師只要求學生數圖畫中的物件，而忽略了數實物的重要。此外，也有以分數條作操作工具的，這工具主要讓學生從長度方面理解分數，現今已愈來愈多數學教育家建議以長度來理解分數（Graeber and Tanenhaus, 1993），學生可先以棒狀圖後以數線作配合，這樣學生會較容易理解，當然棒狀圖可以紙條或圖像形式出現，如以數線表示分數，學生可以此為比較分數的解題工具。
綜合以上討論，老師認為讓學生建構對分數清晰的概念至為重要，當中的概念包括部分與整體的關係，除了從整體中求部分外，也要從部分中求整體，我們也期望讓學生從長度中理解分數。我們期望學生能以分數表達一個整體及一組物件的部分，並能以其數值比較大小。在操作活動方面，我們會以不同圖形讓學生對比正反例子，也讓學生多作數數練習，並從長度中建立分數的數值概念。
和拔萃小學的老師探討分數教學的過程中，我們參考了國際上兩個分數教學的研究計劃，第一個是在美國進行的「Rational Number Project（RNP）」（Cramer et al., 1997），而另一個則是荷蘭的「Ｔhe Fractiongazette」（Bokhrve et al., 1996），兩個計劃均針對發展學生分數的概念而進行。前者強調讓學生建立分數作為一個整體及一組物件的部分的意義，後者則以量度的概念處理分數的教學。我們分析過課程的學習重點及學生的學習需要，認為兩者對分數概念的詮釋均需兼顧，我們也分析過兩個計劃所發展的教學策略，發現當中有三項共同的教學元素值得我們參考，我們以這三項元素作為設計教學的基礎，讓學生從不同層面建構分數的基本概念，這三項元素分別為：多元化的表達概念方式、從解難中建構概念及運用數學語言解釋概念。
不同表達方式
我們鼓勵學生以多元化表達方式建構分數的概念，學生需從不同方式中探究及表達同一概念，這些不同的表達方式包括實物、圖像、符號、口述及生活化情景等，學生能從連繫同一概念但不同的表達方式中建構概念，要達到此學習目標，學生需有足夠的學習經歷，老師需讓學生從不同實例及操作實物中累積學習經驗。在探究分數的概念時，我們以日常生活的例子、不同形狀的圖形、數數工具、棒狀圖及數線等，讓學生從觀察、摺紙、畫圖、操作、分辨及判斷中，配以不同的正反例子，以不同的方式表達及連?同一概念。
從解難中建構概念
解決難題與概念理解有著重要的關係，解難題目能協助學生學習新的概念，以及應用概念於新的情景中，學生在學習分數前已有一些分割圖形或剪紙的經驗，學生可運用這些經驗於不同的等分活動中解決問題，從中建立概念。我們在教學過程中滲透了不少解難元素，例如：學生需以不同方式等分同一圖形，學生也需從圖形的部分中推論出原來的圖形，或從一組數的部分中推論出原來的數，學生也需在數線上顯示分數的大小。老師考慮到解難活動的設計應以提高學生的參與程度及討論的興趣為主，故鼓勵學生以不同的答案、解題策略及表達方式解答。
運用語言解釋概念
我們期望在教學過程中，學生能有充份的機會討論、表達及分享他們的想法，老師相信如學生真的明白概念，他們應能以語言作出解釋。學生在建構概念的過程中，以口述表達、問題討論及概念解釋來促進全班的互動至為重要，老師認為語言解釋能連繫分數中不同的概念、不同的表達方式及不同的解難策略。在教學過程中，我們讓學生有很多運用語言的機會，並期望學生能解釋等分及分數在一件物件、一組物件及一條長紙條中的意義及其分別。
正如起初所說，分數的基本概念一直是老師們的關注問題，在教學策略上也有不同的嘗試與經驗，在本次分數的教學探討中，老師並沒有運用一些獨特的教學方法，我們只是嘗試在舊有對分數的概念理解上作多了一點詮釋，也嘗試以這些詮釋理解老師常作的操作活動在建立分數概念中的不同定位，例如：等分圖形表示分數代表一個整體的部分（圖一）、等分一組物件表示分數代表一組物件的部分（圖二）及等分棒狀圖表示分數的數值（圖三）。
我們並嘗試把這些活動作出一點新增或潤飾，看看學生在當中有甚麼有趣或特別的表現。此外，我們也嘗試從連繫多元化的表達方式、數學解難及運用數學語言解釋概念方面為這些教學活動作出一點注解，讓老師進行教學時多思考活動背後的理念。老師期望透過這次研討會和大家分享他們探討這課題時的經歷及所思所想，包括他們如何從分析學生難點、教學重點到設計教學的經歷，老師會以課堂片段及學生習作闡釋學生在學習過程中的表現，從而回應對此主題的看法，並希望與會老師有所交流。
註：本環節以粵語進行，但由於拔萃小學以英語作為數學的教學語言，故示例則以英語為主。
參考資料
1.Bokhove, J., Buys, K. (ed.), Keijzer, R., Lek, A., Noteboom, A. and Treffers, A. (1996). De Breukenbode, Een Leergang voor de basisschool (werkbladen en handleifing) [The Fractiongazette], SLO/FI/Cito, Enschede/Utrecht.
2.Cramer, K., Behr, M., Post, T., & Lesh, R. (1997). The Rational Number Project: Fraction lessons for the middle grades, Level 1. Dubuque, IA: Kendall/Hunt Publishing Co.
3.Graeber, A.O. and Tanenhaus, E. (1993). Multiplication and division: from whole numbers to rational numbers. In Douglas T. Owens (Ed.), Research Ideas for the Classroom – Middle Grades Mathematics, New York.
4.Kieren, T.E. (1980). The rational number construct: Its elements and mechanisms. In Recent research on number learning, 125-149, Columbus, Ohio: ERIC-SMEAC.
5.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
成「千」上「萬」-- 從「五位數」教學設計說起
周凌俊韶女士 (高級學校發展主任)
李佩芬老師、李敏賢老師、施懿德老師(海壩街官立小學)
位值的學習問題
在海壩街官立小學的三年級數學科共同備課會議上，教師提及學生在「五位數」這單元的學習時，有以下的意見：
「學生在一年級已學過單數和雙數，為何個別學生仍未能分辨單、雙數？」
「在比較不同五位數大小時，何以有部分學生總不能正確地把它們排序？」
「如果要求學生把若干粒算珠放在算柱上，以表達最小五位數時，他們大部分總愛在每條算柱放上算珠。任憑我們怎樣苦口婆心地教導他們，他們總是左耳入，右耳出，經常都做錯，真叫人費解！」
相信以上的說話都會令不少數學科教師產生共鳴。何以我們看來簡單易明的內容，學生學起來卻出現諸多問題？歸根究底，學生對「位值」概念，尚未充分掌握。
所謂「位值」，是指數的表徵中，每個數字所在的位置所代表的值。例如「987」中，「9」的位值是100，「8」的位值是10，「7」的位值是1 (Ross, 2002)。根據現行的《數學課程指引(小一至小六)》(以下簡稱「課程指引」)，「數」範疇佔了第一學習階段46%，當中涉及不少是加減乘除的基本概念和運算技巧。不過，要明瞭計算原理，非要掌握位值的概念不可，否則便會直接影響學生學習四則運算的成效，甚至影響日後在較高年級所學的分數、小數及百分數等基本概念的認識。因此，位值是一個基礎的概念，是兒童在學習多位數的加減乘除之前所必須具備的概念(羅素貞，2007)。相信不少數學科教師不時發現，部分學生在計算6 + 24時，會錯算為84，又或在計算乘法或除法時，常常在進位或退位時出現錯誤，例如把27 3誤算為621，又或把420 4 錯算為15，皆因這些學生的位值概念薄弱。此外，National Council of Teachers of Mathematics (簡稱“NCTM”) (1989) 指出假如我們認為數字感和數概念在數學中佔有極為重要的角色，那麼，位值概念的掌握必然是兒童數概念發展過程中，最為關鍵性的步驟之一。
在課程指引中，「認識單數和雙數」只包含在「1N1 10以內的數」單位內，學生往後所學的「1N2 20以內的數」至「3N1 五位數」，再沒有包括這學習重點。至於教科書的編排，雖然不少在「1N2 20以內的數」也會重點教授單數和雙數，但學生所認識相關的概念，亦只限於20以內的數；因此，學生對單數和雙數概念的認識是否整全，這是值得我們關注的。
此外，Fuson(1997)指出研究發現，兒童在比較不同數的大小時，甚少利用位值概念來思考，例如他們知道24比17大，一般都是由17開始往上數，數到7個數便得到24；他們把24看成一個數字，但並不清楚2是代表2個10，4是代表4個1。因此，當學生要比較數的大小時，面對繁複的數字，學生的表現又怎能如教師所願呢！
學生在「全港性系統評估」中的表現
近年的《全港性系統評估學生基本能力報告》(以下簡稱「報告」)對學生在理解整數的基本概念方面，作了以下評論：
| 年份 |
評論 |
| 2010 |
大部分學生能寫出算柱上所表示的數值 |
| 2010 |
大部分學生能以文字表示阿拉伯數字，一些學生未能以文字正確地寫出整數 |
| 2008 |
當題目要求學生利用算柱進行加法計算時，他們表現較弱 |
| 2008 |
部分學生未能按特定的準則在算柱上表達整數 |
從上表看來，學生在面對首兩題屬於常規性問題時，表現尚算理想；但當處理到後兩題屬於較不常規的問題時，表現卻未如理想，反映他們對相關概念的掌握，仍未牢固。
「五位數」教學實踐
除上文所述學生的學習難點外，海壩街官立小學的教師檢討在學生「全港性系統評估」中的表現時，發現他們在「五位數」這單元中，不少均未能按特定的準則在算柱上表達整數。教師普遍認為學生對位值概念了解不深，加上題目具有相當的挑戰性，已非評估學生的「基本」能力，再者學生對該類題目甚感陌生，不但教科書欠奉，甚或在課堂中，教師也較少教授這些題目。此外，教師也構思了另一學習活動，讓學生利用不同的數字卡組成五位數，鞏固他們對五位數學習的同時，也能加強其數字感。
針對以上種種，我們在課程上作出了相應的調適，如在一年級下學期的「1N4 100以內的數」，我們加強了順數和倒數，以及單數和雙數的教學，讓學生對相關的概念能掌握得較為整全。此外，透過實際操作活動，讓學生掌握如12個1即1個10和2個1等，提升他們的位值概念。蘇順德(2006)的研究指出讓學生實際動手透過實物的操作，對於位值單位轉換的過程能更掌握，有助鞏固他們的位值概念。在「2N1 三位數」、「2N4 四位數」以及「3N1 五位數」中，除繼續推展讓學生明瞭不同位值單位的關係外，教師還針對學生不能類推的數字，例如：248、249、250、251(過十)，1398、1399、1400、1401(過百)，34998、34999、35000、35001(過千)等，編排讀數活動，以彌補課本的不足。我們期望透過上述課程的縱向規劃，讓學生能從小一開始，對位值概念有較為整全的掌握。
要求學生按特定的準則在算柱上表達整數，其實甚具挑戰性。因此，教師決定讓學生透過實作活動，加強學生對位值的理解。教師循序漸進地，先著學生利用兩粒算珠，在算柱上表示出所有五位數組合。學生透過實際操作，把算珠放在算柱不同的位置，所得的結果共有五個組合，分別為20000、11000、10100、10010、10001。教師再利用學生所得的結果，要求他們先探討各數的位值，然後討論哪個是最大/最小的五位數，進而再處理單/雙數的問題。學生在取得此等學習經歷後，再利用較多數量的算珠進行相類似的活動，學習表現已有所提升了。教師認為學生在進行活動時，表現投入，而通過操作活動，學生普遍已能掌握相關的概念和技巧。雖然個別學生的表現尚未理想，但起碼他們已沒有再在每條算柱放上算珠了，反映他們已有所改善。
為了培養學生的數字感，教師也特意在這單元中設計學習活動。教師由淺入深地引導學生利用兩張、三張以至五張數字卡，分別組成不同組合的兩位數、三位數以至五位數，從中不但能鞏固學生對課題的認識，且能加強其數字感，更能讓學生從活動中得知不同數量的數字卡所組成的整數也各有不同。教師反映學生普遍能利用四張和五張數字卡組成不同整數，個別學生更能有條理地，羅列出五張數字卡所組成的所有不同組合，令教師大為鼓舞。
在籌劃相關課題教學的過程中，三年級教師共同商議教學策略和分享教學經驗，又進行同儕觀課，實際了解學生的學習情況。在整個教學實踐的過程中，教師作了以下的歸納：
一、透過這次的教學實踐，教師深深體會到「位值」概念對學生來說頗為抽象，要他們瞭解這抽象難明的概念，並非只憑教師的講述便能達致，實際操作、小組討論等活動是不可或缺的。
二、總結是次教學實踐，教師一致認為學生的學習問題雖然在三年級浮現，但要解決問題的癥結，單靠該級教師的努力並不能成事，一、二年級教師也須及早提供協助，梳理學生在學習上所遇到的問題，這樣才可事半功倍。
教師期望透過是次分享會，分享他們的構思和經歷，包括分析學生的學習難點、教學設計和學生的學習表現，並希望跟與會教師有所交流。
參考資料
1.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
2.香港考試及評核局(2008)。《2008年全港性系統評估學生基本能力報告》。香港：香港考試及評核局。
3.香港考試及評核局(2010)。《2010年全港性系統評估學生基本能力報告》。香港：香港考試及評核局。
4.Fuson, K. C. (1997). Children’s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Mathematics Education, 28(2), 130-162.
5.NCTM(1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va : The council.
6.Ross, S. (2002). Place value : Problem solving and written assessment. Teaching Children Mathematics, 8, 419-422.
7.羅素貞(2007)。《國小學童位值概念與多位數加減問題解題表現關係之研究》。網址http://140.127.82.166/handle/987654321/2205?mode=full&submit_simple=Show+full+item+record
8.蘇順德(2006)。《屏東地區國小一年級學生位值概念之研究》。網址http://etd.npue.edu.tw/ETD-db/ETD-search-c/view_etd?URN=etd-0501107-162445-276
初小教室內的實作評量
蕭霞萍女士(高級學校發展主任)
蘇超明老師、羅瑞蓮老師、楊菁老師(保良局黃永樹小學)
多元化評估的需要
在教、學和評估的循環中，評估的作用已從「對學習的評估」轉為「促進學習的評估」。透過評估，教師能診斷學習、給予回饋，以及提供更合適的教學活動。
《數學教育學習領域課程指引(小一至中三)》(課程發展議會, 2002)指出，數學科的評估不應只注重學生解決數學問題時所提供的答案，亦宜反映學生的學習過程、解決數學問題時所用的技巧及在思維和態度方面的發展，以達致全面了解學生的學習表現。因此，多元化的評估活動是必須的。而實作評量能兼顧學習的過程和結果，所以逐漸受到教師的重視。
何謂實作評量？
實作評量是指讓學生在不同的情境下完成某一項指定的任務，以表現他們對數學知識的理解和應用(教育局，2006)。
Herman, Aschbacher及Winters(1992)對實作評量的特質做了更清楚的說明，他們認為實作評量應具備以下特徵：
一、要求學生實作、創造、製造或是作出某些成果。
二、涉及到高層次思考以及問題解決能力的技巧。
三、課業內容呈現出有意義的教學活動。
四、牽涉真實生活的應用。
五、以人為判斷進行評分工作。
由此看來，評量方式著重高層次能力，如思考、分析、組合、判斷，以及表達能力的啟發，思考過程和邏輯推理的程序考量。評量不單看成果，而且也考量過程，所以能了解學生造成錯誤的原因以及學生對某一問題考量的層面、思路過程，以及邏輯方式。
學校推行實作評量的經驗
針對實作評量可能帶來的學習成效，保良局黃永樹小學於去年下學期，嘗試在二年級進行有關活動，並在「度量」範疇中揀選了「重量」這一單元，以課堂研究(lesson study)的方式進行實作評量。
實作評量和其他的評量一樣，要設計出適合的問題，都必須經過一些嚴謹的計劃過程。雖然實作評量的設計沒有標準可循，但是在設計過程中仍須考量一些必要的因素：
一、決定評量的目的和目標。
二、設計題目。
三、設計評分表格和記錄的方式。
四、分析評量結果。
五、反思與修訂。
經過數次磋商後，我們決定透過估計及量度物件的重量，來評估學生對重量概念以及量度技巧的掌握，評估重點則分別涵蓋知識、技能和態度三方面：
一、學生能寫出座?磅上能量度的最大重量。
二、學生能寫出座?磅上每一小格代表多少重量。
三、學生能以100克的砝碼和1公斤的重物作為參考指標，合理估計物件的重量。
四、學生能夠量度物件的重量。
五、學生能在進行活動時態度認真並能與人合作。
針對學生應該達到的學習成果，我們安排在教室內擺放六個攤位，其中三個用於估量活動，餘下的則用於量重活動，每個攤位內用作估計或量度的物件都不相同，從而避免組別之間抄襲答案。學生按指示進行分組活動，並透過操作、觀察及討論，完成相關工作紙。教師則需要在活動進行時，按評估重點進行觀察，並依據學生的表現即時給予評分。
評分部分需解決兩大難題，一是評分的方式，二是以教師的專業判斷即時給予學生評分。
我們先討論第一個難題，在知識方面，學生的表現只有兩個層面：對或錯，所以評分比較簡單，教師可直接從工作紙的答案決定學生是否取得該部分的分數。然而技能和態度的表現是有程度上的分別，為了能確實反映學生的程度，我們決定將這些部分以量表的方式訂出評分標準，例如在估量部分，誤差在50%以內可得2分，誤差在51%至100%之間可得1分，而誤差超過100%的便給予0分，態度方面更細分為四個程度，並詳列評分細則，以便教師在評分時有具體的依據。
至於第二個難題，在一般情況下，教室內只有一名教師，在監控整個課堂活動的同時，教師又如何兼顧「即時依據各個學生的表現而給予評分」呢？為了解決這個問題，我們採取以下策略：
一、只評態度，其餘部分則在批改學生的工作紙時給予評分。
二、量表按學生的座位編排，以方便教師記錄。
在總結經驗時，教師認為實作評量可以讓他們了解學生對問題的了解程度、投入程度、解決的技能和表達自我的能力，能夠較完整的反映出學生的學習表現。另一方面，學生的學習動機普遍較一般的課堂活動高，同學之間也較願意互相合作以取得較佳的評分，令互補不足和互相啟發的效果更為彰顯。然而實作評量除了需要時間和人力去評分外，評分的一致性也是一個難題，因為評分的過程依賴人為的判斷以及多元的指標，評分者之間評分的一致性通常不高，要提升其信度，還需反覆的試驗、反思和修訂，因此需要累積更多成功經驗，才能將實作評量推廣至全校，成為長遠發展策略。
在本環節中，講者將與大家分享校本推行實作評量，由計劃到實踐的歷程和體驗，當中遇到的困難以及解決方法，又會透過課堂錄影片段及學生習作，分析其結果與成效。
本學年，教師更將有關經驗延伸至小三，並分別在二年級和三年級上學期，從「圖形與空間」範疇中選取了「柱體和錐體」，以及「垂直線和平行線」兩個單元來進行實作評量。在過程中，教師對評量活動的設計，學生的學習模式，以致評分的程序，又有另一番體會。
參考資料
1.香港課程發展議會(2002)。《數學教育學習領域課程指引(小一至中三)》。香港：香港印務局。
2.香港教育局數學教育組(2006)。《多元化評估模式和策略（小學數學科）》。香港：香港印務局。
3.Herman, L.J., Aschbacher, R. P., & Winter, L. (1992). Linking assessment and instruction. A Practical Guide to Alternative Assessment, 2, 12-22. ASCD: Virginia.
「相差」與「比較」的成長路──小一及小二基本加、減與比較應用題的縱向課程發展
李潤強先生(高級學校發展主任)
林雪玲老師、黃安兒老師（亞斯理衛理小學）
小一學生透過數數、讀數和寫數，認識1至20，並透過認識1至18的基本組合，延伸學習18以內的基本加法和減法，這些進程是建立基礎加法及減法概念的必經階段。
在學習基礎加法的概念時，學生從認識「合共」的意思理解加法的概念；而在學習基礎減法概念時，學生則需認識「取去」與「相差」兩者的分別，從而理解兩個不同的減法概念。在「相差」的概念中，亦包含「比較」的意思，例如「3和4相差1」、「4比3多1」、「3比4少1」等 (Van De Walle, John A., 1998)。
一般教師在教授這課題時較為著重加強學生的運算能力。當學生被問及有關加法或減法的意思，又或是要求他們舉出日常生活應用的例子時，大部分學生都能說出加法的意思及例子，但利用日常生活的例子表達減法的意思就較為困難，特別是「相差」的概念。
教師曾表示，學生在認識「兩數比較」時，他們都能先透過「一一對應」的方法，理解如何比較兩數的相差，但當提及利用「減法」可計算它們的相差時，能力稍遜的學生都感到難以理解，學生好像只是聽從教師的說法，謹記利用減法去計算。然後過了一段時間後，他們又較容易忘記計算的方法。
另一方面，很多教師只著重訓練學生計算「比較兩數的多少？」，忽略要求學生掌握「比較句子」的結構，例如我們可以這樣說：「4比3多1」或「3比4少1」。若我們在測考中，只透過這類題目評估學生，例如「4比3多 ___。」，學生只需謹記大數減去細數便可計出答案。然而若學生不掌握「比較句子」的結構，日後在認識「比較類應用題」時，他們就難以分析「哪個較多？」或「哪個較少？」。
現時有一個常見的現象，很多學生在題目中看見「…比…多」，就運用加法，看見「…比…少」，就運用減法。教師認同這類的題目使學生感到困惑，然而我們仔細分析學生的難點，就會發現他們根本不理解當中「比較句子」的意思。這些學生可能從小一就在不理解的情況下計算，對「比較句子」的意思只是一知半解，造成日後對解答「比較類應用題」的困惑。
亞斯理衛理小學的老師與本組協作籌劃相關的課程時，參考了Haylock & Cockburn (2008) 的意見，認同兒童在學習新的數學概念時，需要聯繫他們過往的經驗與知識，這才能幫助他們理解新的數學概念。在理解基礎運算的概念時，教師常利用兒童一些簡單的生活情景作引入，然後透過不同的策略，例如實物操作(concrete experience)、符號(symbols)、語言(language)及圖像(pictures)等，協助兒童理解抽象的數學概念。若教師能把以上四項策略互相緊扣，以及聯繫兒童的過往經驗與知識，就更能加強他們對這些數學概念的理解。兒童透過操作具體的實物(concrete experience)進行運算，利用符號(symbols)表達運算的過程，然後利用語言(language)讀出運算的方法與描述實物操作的意義，並討論這些符號表達的意思與實物操作的關係，繼而再利用圖像(pictures)表達對情景的理解，以及協助運算(Haylock & Cockburn, 2008)。
回想我們的教學中，也曾利用以上四項策略，透過學習活動建構學生加法及減法的概念。此外，在聯繫日常生活情景方面，很多課本都慣常利用一些簡單的情景，例如「我有5粒糖，媽媽給我3粒糖，我共有糖多少粒？」及「我有5粒糖，取去3粒糖後，餘下糖多少粒？」表達加法及減法的意思。然而這些都是我們假設的情景，能力較弱的學生在理解方面會感到困難；單靠聽老師的講解這種較為被動的方式學習，而例子的數量及種類亦有限，對理解加法及減法的概念會造成局限。
經反思後，為加強聯繫學生的日常生活經驗與加法及減法的概念，我們一方面透過講解不同的生活情景，要求學生說出加法或減法的算式；另一方面，我們利用一道算式，例如「5 3 = 2」，著學生聯想自己相關的生活情景，說出包含這道算式的生活例子，例如「我有5粒糖，給了弟弟3粒糖後，餘下2粒糖。」這可讓他們表達對算式與生活例子的理解之餘，還可擴闊他們的思考空間。
當學生掌握減法概念中「取去」的意思後，他們又需認識減法另一意思──「比較兩數相差」。一般學生會感到減法中「取去」的意思較容易理解，而對「比較」的意思會感到困難，例如「4比3多多少？」學生不明白為何「4 3 = 1」就能計算出答案，學生剛剛理解減法是取去某數的部分，而在比較的過程中又沒有發現取去的意思，所以較難接受「比較」又是減法另一意思。然而課本常把減法的兩個概念放在一起，學生同時認識同一個運算符號，內裏有兩個不同的意思，這會令剛剛入學的小一學生感到困難。
因此，我們先讓學生掌握減法中「取去」的概念，然後才讓學生認識減法中「比較兩數相差」的概念。我們注意到學生在認識這概念時，學生不單認識利用減法找出兩個數的相差，他們還需要認識一組複雜的數學語言，例如「4比3多1」、「3比4少1」、「3和4相差1」、「牛比羊多1隻」、「羊比牛少1隻」、「牛和羊相差1隻」等。若題目給予兩個不同的數時，或兩種不同數量的物件時，學生應能利用數學語言，比較兩個數或兩種物件的「相差」、「多」和「少」。課文編排方面，有些課本同時介紹以上所有的句子，而另一些課本則先介紹「多」和「少」，但在日後的應用題（約半年至一年後）才突然出現計算「相差」的題型。總而言之，學生在認識不同的「比較句子」時，又需要理解減法的另一意思，這對學生不是一件簡單的事情。若我們只輕輕帶過這些概念或數學語言，學生很容易只掌握一些計算技巧，例如「大數減細數」的策略。
我們也曾嘗試引入減法只計算「比較兩數多少」時，例如「4比3多___」或「3比4少___」，能力稍遜的學生感到困難，因為兩句不同的句子，都是利用減法計算。後來我們嘗試只介紹「兩數相差」的句子，例如「4和3相差___」，先利用最簡單的方法──「一一對應」，讓學生明白「兩數相差」的意思，然後再引入減法計算的方法。我們嘗試在計算「兩數相差」時，把相同數量取去，餘下的就是它們的相差，聯繫學生最先認識減法的概念；學生透過操作數粒、符號、語言及圖像學習，並緊扣他們的已有知識。經嘗試後，我們發現很多學生都感到較易理解，課堂表現顯得更有信心。接，我們引入「兩數相差」與「比較兩數多少」的概念，透過觀察例子，讓學生找出兩個數的「相差」與比較這兩個數的「多」和「少」的答案是相同的，從而歸納出「比較兩數多少」其實就是「比較兩數的相差」，這樣學生便較易明白計算「比較兩數多少」與「兩數相差」的方法都是減法。
另一方面，在小二的「比較類應用題」中，題目內必定包含其中一類「比較句子」，例如「羊有20隻，羊比牛多5隻，牛有多少隻？」，學生必須透過理解整道題目的意思，然後才判斷計算的方法，不可以只靠辨認關鍵字「…比…多」便利用加法。而我們的學生在小一的階段已認識「比較兩數相差」的概念，以及理解「比較句子」的意思，因此我們先讓學生重溫這些概念及句子結構後，便開始討論解題的策略。在解題策略上，我們先讓學生分析「比較句子」中的意思，分析「誰較多？」及「誰較少？」，然後再從問句中要求計算的項目是「較多」還是「較少」，才判斷運用加法或減法。
我們察覺大部分小二學生對小一階段的「比較兩數相差」及「比較句子」已有一定的認識，對理解「比較類應用題」有很大的幫助。這類題目屬初小最為艱深的題型之一，過往一般能力的班別，只有小部分能力較高的學生能掌握。經嘗試後，現在大部分的學生在小二上學期的階段都能掌握。
亞斯理衛理小學教師與本組同工透過是次分享會，就以上的學習難點，針對學校裏能力一般及稍遜的學生，分享過往課程發展的經驗。我們將會分享小一基本加法及減法的概念，著重協助學生理解加法中「合共」的意思、減法中「取去」及「相差」的意思，特別是在「相差」的概念裏如何比較「兩數相差」及「比較多少」的方法。此外，更會介紹小二的「比較類應用題」的縱向發展策略。我們希望透過是次分享會與同工交流經驗，從而促進彼此的專業成長。
參考資料
1.Van De Walle, John A. (1998). Elementary and Middle School Mathematics. Addison Wesley Longman, Inc.
2.Derek Haylock & Anne Cockburn (2008). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage & Lower Primary Teachers. SAGE Publications Ltd.
平面圖形教學的反思──四邊形教學 (小四) 的另類嘗試
陳鋼先生 (高級學校發展主任)
李國喬老師、袁國慶老師、陳浩文老師(聖文德天主教小學)
四年級上學期圖形與空間範疇的教學內容為學習各類四邊形的特性。在這個時期，教師需協助學生重溫有關四邊形的基礎知識，然後再深入學習各類四邊形的特性。學生在經過這個單元的學習，需要了解長方形、平行四邊形等圖形的特性。教師反映在教授這個單元的時候，學生能透過活動掌握圖形的特性。但過了一段時間後，學生便遺忘所學，在評估時也較容易混淆圖形的特性。造成這個困難的原因，可能是此課題的學習內容頗多，學生需要記憶相當多的資料。若果學生未能有效組織各四邊形的特性，便較難在長時間後仍記憶所學。本節分享會嘗試對四邊形教學作出一些分析及建議，望能幫助教師改善相關教學設計。
在此讓我們回顧兒童學習幾何所經歷的階段。荷蘭數學家 Van Hiele 將兒童學習幾何的經歷分為五個階段 (Van de Walle, 1998)，包括
一、 視覺期 (visualization)；
二、 分析期 (analysis)；
三、 非正式演繹期 (informal deduction)；
四、 正式演繹期及 (formal deduction)；
五、 公理期 (rigor)。
小學生的幾何學習，主要停留在第一及第二個階段，並準備過渡至第三個階段。有學者利用「觀察 」(observation) 及「辨認」 (recognition) 來描述首兩個階段 (Monaghan, 2000) 的特色。即是說，在第一階段的兒童是觀察整幅圖形為主，較少了解到圖形的局部特性，例如兒童可以靠直觀的方法辨認長方形，但不能了解長方形有兩組對邊長度相等；兒童能認出梯形，但不一定知道梯形有一組對邊平行。到了第二階段，兒童能辨認圖形的局部特徵，開始留意圖形的邊與角，例如學生能知道正方形有四個直角。但此階段的兒童，仍未能明白圖形的定義及了解不同圖形的從屬關係。
讓我們看看學生於初小 (小一至小三) 有關四邊形的學習情況。於一年級下學期，學生已開始學習有關平面圖形的知識，並認識各類多邊形的名稱，包括以直觀的方法認識三角形、四邊形和五邊形等。在四邊形方面，更會進一步學習正方形和長方形 (視覺期)。到了二年級下學期，學生需要較仔細分辨正方形及長方形相似與不同之處 (分析期)，並開始接觸梯形和菱形。到了三年級的上學期，學生會認識平行四邊形並學習其簡單特性 (視覺期和分析期)。在視覺期的學童，透過觀察圖形的整體結構來辨認圖形，他們能認得水平擺放的正方形和長方形。
為了協助學生過渡至分析期，教師可引入更多四邊形的例子與非例子，促使學生留意圖形較細緻的部份。例如將正方形傾斜於水平線，看看學生還能不能認出該圖形是正方形；或者以三條曲線組成一個圖形，測試學生有沒有留意圖形線的特性，會不會將該圖形看成是三角形。
學生在初小對各類四邊形有了一定的認識，到了小四上學期，可以說是將初小的學習來一次總結並進一步學習各類四邊形的特性，所以學生需要在這時學習 (包括重溫) 正方形、長方形、菱形、平行四邊形和梯形等圖形的特性，並比較它們的特性。由於資料豐富，如果學生不懂得有系統地整理所學，便容易遺忘。到了評估的時候，學生也較容易遺漏，未能完整列出圖形的特性。
在以往的教學中，教師多會讓學生比對各類四邊形，從而加深他們對圖形的印象。例如，透過比較平行四邊形和長方形，幫助學生辨別兩類圖形的異同；透過概念圖，協助學生釐清各類四邊形的關係。透過用心安排教學活動和流程，教師將四邊形的知識作清晰的整理展示，學生能較為有組織地理解各類圖形的屬性。
經過備課會的商討，聖文德天主教小學的教師在本年度的教學中嘗試以另一個角度引導學生學習四邊形。教師更加強調圖形邊的特性和角的特性，幫助學生更好地掌握四邊形學習的重點，包括要求學生了解圖形的對邊是否平行，有多少組對邊是平行的；圖形的對邊是否長度相等，有多少組對邊長度相等；然後再從圖形的角出發，討論圖形有多少個直角等問題，讓學生清楚了解圖形邊和角的特性。
上述的教學活動，多屬 Van Hiele 幾何學習的分析期。從課堂所見，學生較為容易適應並能辨別圖形的特性。所學習的內容雖然與以往的相同，但教師利用兩個角度 (圖形對邊的特性和圖形角的特性) 貫串各類圖形的學習，亦能夠突出各圖形的相似與不同之處。
Monaghan (2000) 認為我們能透過兒童的用語來更清楚地掌握兒童的學習概念，例如當詢問學生有關長方形和正方形的分別時，學生往往以為長方形會比正方形大，這可能是由於學生只看過課本中的幾個例子而形成的錯誤觀念，我們可從學生的回應了解學生經過學習究竟形成了什麼概念。基於上述原因，在教學的過程中，教師會藉著提問，了解學生的想法，從而發現學生還存在的學習問題，並作出跟進。例如在教學活動的過程中，我們發現小部份學生因應生活上的經驗，用錯誤的觀念解釋什麼是四邊形的「對角」。有了此發現，教師便首先深入解說圖形的基礎概念，然後才進一步教授四邊形的其他特性。
在教學過程中，我們再一次看到學生有良好學習習慣的重要。例如在辨認菱形有沒有四個直角時，有部份學生仍停留在初階的幾何學習階段，只是利用直觀的方法進行判斷，較容易出錯。較細心的學生，會利用直尺檢查圖形的角度是銳角、直角或是鈍角。學生透過實證能更清楚了解圖形的特性。除利用直尺作為學習工具，教師也會利用電子教具、釘板及四邊形圖案等作為輔助，幫助學生鞏固所學。
到了總結的階段，教師亦透過小遊戲的方式讓學生學習。活動是要求學生做小偵探，教師在袋中藏有一個四邊形，要求學生透過提問有關圖形的問題找出圖形是哪一類的四邊形。學生不能要求教師直接告知答案，而是利用剛學習的四邊形知識，詢問教師有關圖形的特性。例如學生只能提問教師「圖形是不是有四個直角」、「圖形的兩組對邊是不是長度相等」等問題，而教師只是回答「是」或「不是」。透過一系列的提問，學生嘗試找出教師藏有一個怎樣的圖形。此活動與 Van de Walle (1998) 提及的 “Shape Hunt” 活動相似，都是要求學生利用圖形特徵找出圖形，在幾何教學中加入解難的意味，以提升學生的學習興趣。
我們也會提及進行教學活動時需要注意的細節。例如，在初次執行「小偵探」活動時，我們並未要求學生即時紀錄教師的回答，只是要求學生記著教師的回答便可。當教師回答了學生兩、三個問題後，發現學生已忘記了第一個問題的答案，接下來學生只是瞎猜答案。看到此情況，我們便要求學生作紙筆記錄，或由教師提供四邊形的教具讓學生作記錄，當有了這些輔助工具，學生能更有系統地記錄活動中的提問與回答，因而能更準確地辨認四邊形，達到了活動的目的。有時我們有了好的教學意念，在執行時或未能有預期的效果，不一定代表教師要摒棄整個活動，或以為該意念不可行。我們可藉?審視活動的執行過程，反思在細節上是否出了什麼差錯並作出改善，使活動得到較為令人滿意的效果。
從課堂所見，學生多能從活動中鞏固此單元的學習。在小班教學的環境中，教師不妨多利用討論的方法，讓學生可以從「生生互動」及「師生互動」中學習，並配合適當的提問，令學生有更多思考數學的機會 (Galton，2009)。
活動除了幫助學生重溫圖形的特性，更促使學生在學習以數學語言作討論，例如學生在活動中需指出哪些圖形四邊相等，並以數學語言作?報。在進行遊戲時，若學生未能善用精確的數學語言進行提問，則學生未能從教師處獲得有用的資訊。故在小組討論和活動時，學生都有機會從聽、講中學習，達到了我們在教學中訓練學生溝通能力的目的 (香港課程發展議會，2000)。
在此分享會，我們會透過分析課程結構與教師一起剖析四邊形的教學重點，亦會利用課堂片段，反思學生學習上的困難和學習經過，提出我們在教學上的另類嘗試，讓教學活動更突出圖形的屬性。在活動中，學生透過小組活動掌握圖形的邊和角的特性。除此之外，學生亦在活動和遊戲中利用數學語言與同學溝通，亦令學生能透過自己的語言整理學習的內容，加深了對各類四邊形的印象。希望教師能藉此分享會瞭解四邊形的不同教學策略，並進一步掌握學生的學習模式。
參考資料
1.Galton, M. (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong. The Education Bureau and University of Cambridge. Retrieved from, http://www.edb.gov.hk/tc/edu-system/primary-secondary/applicable-to-primary/small-class-teaching/reference.html
2.Monaghan, F. (2000). What Difference Does It Make? Children’s Views of the Differences between Some Quadrilaterals. Educational Studies in Mathematics, 42(2), 179-196.
3.Van de Walle, J. (1998). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. 3rd ed. New York：Longman.
4.香港課程發展議會(2000)。《數學課程指引(小一至小六)》。香港：政府印務局。
