以行求知- 体验.探究.求真 -数学

M02 以小三除法为例解说数学上的知识体系

陈钢 先生 (高级学校发展主任)
陈婉文 老师 (天主教总堂区学校)
马紫欣 老师 (圣博德学校)

卡耐基教学促进基金会学者马立平 (Liping Ma) 教授曾提及有关“knowledge package” 的概念，其意为 “I use the term ‘knowledge package’ … for the group of topics that teachers tend to see around the topic they are teaching” 。诚然，在教授任何一个课题时，教师总会透过备课或经验的累积，令自己能更熟悉所要教授的教学内容。 马教授想指出的是，除了关心将要授课的内容外，教师能否再进一步，多了解「围绕教授内容的其他课题」 (the group of topics around the topic they are teaching) ？她称上述的知识体系为一个「知识封包」 (knowledge package)。

本工作坊首部份，藉 马教授著作中的例子，向同工介绍「知识封包」的概念，探讨如何增进对数学课题的「知识封包」。第二部份，将以小三除法为例，讲述与之有关的「知识封包」，并讨论这新增的角度对教学的影响。

教师在准备教授小三除法时，可有想过以下问题：教授此课题前，学生应掌握哪些知识？往后有哪些课题，其教学将受此课题的影响？有哪些课题是在教授小三长除法时，可一并教授或重温的？透过研习数学课程纲要、基本能力指引及课本编排，教师能了解学生已学习哪些相关课题、小三除法的学习重点等，如明白此课题建基于小二基本除法的知识，并将影响学生于小四时学习有关除数是两或三个位的除法计算，较容易忽略的，是这个课题还会影响小六的小数除法计算。以上所述，都是与小三除法有关的纵向课题。

藉翻阅TSA试题及补充练习，教师能进一步发现与小三除法有关的横向课题。教师除可了解各类考试题型外，亦宜小心审视题目所涉及的数学概念，思考除了直接讲解有关练习外，还能否在教学上稍作铺垫，令学生更容易学习。以上两段所提及的，如引用 马教授的术语，便是一个课题的「知识封包」。以小三除法为例，可关注的横向课题，包括一般长除法应用题、需考虑余数作答的应用题、货币找换等。教师对这些课题多作关顾，深入认识这些题目的共通性，发掘其背后所蕴藏的数学概念，并转化为恰当的教学策略，教学便能更聚焦。

有了以上对小三除法的认知，教师能更有把握利用不同的教学方法，帮助学生学习。例如，为让学生对除法计算背后所表达的意义有更多的了解，教师宜利用硬币或数粒等教具，安排分物活动，帮助学生理解除法计算的意义。在教授有关余数处理的应用题时，教师可先安排数字较小的题目，帮助学生发现应用题的意义，才进行操练。例如，将一道「秋季旅行有119位学生参加，每位老师最多可照顾9位学生，最少需要多少位老师同行？」 (TSA2008小三卷四第14题) 改为「秋季旅行有23位学生参加，每位老师最多可照顾5位学生，最少需要多少位老师同行？」及「茶叶行现有茶叶23罐。每5罐茶叶包装成一箱，最多可装满多少箱？」等，以便学生更容易发现个中概念。我们透过教师分享、学生于课堂及习作的表现，分析学生在此课题的学习情况。

参考资料：

1. Ma, L.P. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J. : Lawrence Erlbaum Associates.

2. Liebeck, P. (1984). How children learn mathematics: a guide for parents and teachers. Harmondsworth: Penguin.

M03 在数学科运用Rasch Model促进学生学习

陈子阳 先生 (高级学校发展主任)
刘振华 老师 (柴湾信爱学校)
凌家豪 老师 (慈幼叶汉千禧小学)
陈素雯 老师 (慈幼叶汉千禧小学)

数学科的学习过程是一个螺旋式的探究过程，要促进学生从探究中建构数学概念，他们需要对预备学习的课题有稳固的前置知识，然后把新知识建基于已有的基模上，对学生而言，这样进行学习活动才能有意义。因此，当老 师教授新课题时，要做到因材施教，幚助学生掌握学习的课题，先了解学生的前置知识便显得重要了。老师们要考虑学生是否具备足够的前置知识？学生具备前置知识是否存在偏差？

部份数学老师们都明白掌握学生学习情况的重要性，因此，他们在教授不同的数学课题前，都会利用「前测」去了解学生的前置知识，从而去编排教学内容、课堂活动、分组安排和评估设计。进行诊断性测验时，我们除了要注意考卷的内容效度(content validity) 和建构效度(construct validity)外，合适的测量方法亦是不可缺少的。

丹麦学者Rasch,G提出的测量方法Rasch Model，在不少国际性和全港性「对学习的评估」的测试中，都扮演着重要角色。它为不同持份者提供不同的资讯，例如：Rasch Model除了对每位受测试学生的学业表现提供更准确的计量外，亦为研究人员 和老师提供试题分析资讯，幚助拟卷人员改善考卷的质素。此外， Rasch Model在分析学生表现数据外，也是一个幚助老师进行「促进学习的评估」和诊断性评估的测量工具，它为老师提供有效的评估资讯，幚助老师分析学生的表现，例如：透过分析报告，老师除了可以找到整体学生对数学概念的掌握情况，亦可以指出个别学生对考卷的相应能力及个别学生运用数学概念解难时的异常表现，从而促使老师在教学设计上作出调整，在课堂上给予学生合适的关顾，而整个分析数据和反思教学的的经历，亦是促进老师专业发展，提升学科教学知识的过程。

在这次的分享会中，我们透过两间不同发展经历的学校，分享老师设计有效诊断性评估和利用Rasch Model分析学生表现数据进行「促进学习的评估」的经验。

柴湾信爱学校的老师会分享他们在教授五年级课题「异分母加减」前，运用诊断性评估和Rasch Model测量学生有关的前置知识的经验。老师在学生学习「异分母加减」前，设计了一份对应学习重点的前测考卷，从而考核学生对相关数学概念的理解层次。透过阅读Rasch Model的分析报告，老师能更清晰了解学生对不同层次数学概念的掌握程度，从而幚助学生修正和巩固某些相关数学概念，疏理学生的数学概念。建立在这个基础上，课堂的教学更为聚焦及多变，老师在课堂教授计算技巧的时间得以减少，学生能有较充裕的时间去进行深化学习的活动，「异分母加减」的课堂教学因而不再局限于沉闷的计算操练。

对一向任教高年级的老师而言，面对一群来自不同幼稚园的小一同学，他们带着不同的学习经验，任教一年级数学是一项新的挑战。从成年人角度来看，一年级的数学教学重点好像很简单，小一同学们应该不难掌握，然而，实际学习情况并非如此，即使某些数学能力较佳的同学，他们建构的数学概念也未必是稳固的。慈幼叶汉千禧小学任教高年级的老师会分享他们在一年级数学科的两次考试中，通过运用Rasch Model的学生分析报告去追踪学生计算错误背后的原因，了解一年级同学在不同学习单元的学习难点的过程。Rasch Model亦为老师显示个别数学能力较佳或较弱的同学在作答某些题目时的异常表现，提示老师为这些同学进行对应性的巩固数学概念工作，间接幚助老师能从中加深对学生学习过程的了解。透过这次校本发展的经验，老师们对小一学生如何学习数学的认知得到新的体会。这次发展经验不但提升了他们任教低年级数学的学科教学知识，亦幚助他们对高年级数学能力较弱的同学的学习困难有更丰富的了解。

参考资料：

1. Rasch,G (1960). Probabilistic models for some intelligence and attainment test. Copenhagen: Danmarks Padagogiske Instit.

2. Wright, B.D. & Stone, M.H. (1979). Best Test Design : Rasch Measurement. Chicago : MESA Press

M04 从特殊到一般─在小五面积探究活动中归纳公式

李润强 先生 (高级学校发展主任)
梁泽光老师 (佛教林炳炎纪念学校)
招静仪老师 (佛教林炳炎纪念学校)

数学科课程既注重教授基本的数学知识，为学生奠定良好的数学基础，亦着重学生的学习过程，发展他们的探究、传意、推理、构思和解决问题等能力，以及培养他们认真、严谨、富探究精神等良好的学习态度。部分课题牵涉较抽象的数学概念，课程鼓励学生透过探究，从中发现一些数学的规律，藉着发问、讨论和验证假设来发掘和建立知识，让学生从探究扩阔他们的知识领域，发展共通能力，提高学习数学的兴趣，及培养探究精神等。

在教授小五「面积」的课题中（认识及应用平行四边形、三角形及梯形面积的公式），教师较常遇到以下的困难，就是以直接讲解的模式教学，学生感到概念较为抽象，难以理解公式背后的意义，很多学生只能靠背诵公式的方法计算结果，若遇见复杂的问题，他们就胡乱把数字代入公式。佛教林炳炎纪念学校的数学科老 师在教授这个课题时也遇过以上的困难，所以认同让学生透过探究活动，发现及归纳计算平行四边形、三角形及梯形的面积公式，能加强他们的理解及应用。

是次分享会旨在分享我们的发展经验与学生的学习过程，我们从探讨如何让学生从已有的知识，再透过教师的引导、提问、讨论等方式，最后利用特殊的例子，归纳到一般情况的猜想与结论。

在发展的过程中，我们也遇到很多的问题，例如在首次探究平行四边形的面积前，学生需要具备什么基础的知识，才有能力探索新的知识？在小五上学期的课程内容，包括「分数」（数范畴）及「八个方向」（图形与空间范畴）等不同范畴的课题，与「面积」（度量范畴）的关系不大。学生在上年度（小四）曾学习面积的概念，以及正方形与长方形面积的公式，与现时学习平行四边形的面积相隔一段时间，若学生忘记过往的概念，或只背诵这些矩形面积的公式，他们就难以发现及理解平行四边形面积的计算方法。然而，一般的教科书在「面积」的课题里都只描述平行四边形面积的计算方法，未能照顾学生对重温基础知识的学习需要；因此，在探究活动前，我们与学生重温「面积的概念」、「面积的单位」、「矩形面积的公式」等，这些概念也属建构平行四边形面积的必备知识。然后，我们利用一个解难活动引起学生的学习动机，着学生找出一个平行四边形的面积，即使学生仍未学会公式的计算方法，他们还可用最简单的方法——数格仔，数出这个平行四边形占多少个一平方厘米小格。然而，我们故意设计这个平行四边形的边旁小格难以合并成完整的一平方厘米；这样，不同的学生就有不同的合并方法，全班学生就出现不同的结果，但一个平行四边形又怎会有不同的面积？究竟我们可以怎样准确地找出它的面积呢？所以我们计划让学生在认知层面上产生「失调」（dissonance），藉此引起他们的学习动机去探究及解决问题。

在探究平行四边形面积的计算方法，我们利用了一些特殊的例子，派发三个不同的平行四边形，着学生利用剪贴及平移的方法，拼凑成一个可利用公式计算面积的图形，从而计算原本平行四边形的面积。我们希望学生透过观察及计算，发现这些平行四边形都能拼凑成矩形，利用矩形面积的公式（长乘以阔），找出这三个平行四边形的面积，然后再归纳和推理所有平行四边形面积的公式（底乘以高）。在归纳的过程中，我们需注意总不能以一、两个例子就得出结论，然而这却是教科书常见的取向，学生能否接受及明白？因此，多少个图形较为让学生感到合理？所谓归纳及推理，是指从个别性的前提出发，由观察许多现象而把结果进行综合，试图找出一个定则或结论，然而推论出的结果也不一定正确，只有强或弱的可靠度(validity)之分。因此，在进行归纳及推理时，我们需注意三个条件：（一）事例的数量要多，（二）事例的类别要广，（三）没有与结论不符的事例(没有反例)，从而提高结论的可靠度。但我们在课堂上只完成三个平行四边形面积的发现，这是否已足够推论所有平行四边形面积的公式？学生还是否需要一些延伸活动？还有，在探究及归纳三角形及梯形的面积时，会否与探究平行四边形面积有不同的策略？

另一方面，相信 曾经教授此课题的教师也会遇到另一个教学难点，就是学生难以辨认平行四边形及三角形的高度，特别是一些垂直线绘画在图形以外的位置时，他们较难以辨识对应的高和底。很多时，教师一般处理的方法是给予学生大量的练习绘画高度，希望他们熟能生巧；然而，这样的操练会否只强调技巧的掌握而忽略认知层面的理解？当他们遇到一些难题与平日操练的题目不类似时（例如：题目给予多余的资料，即图形上有多过一对的底和高的边长），能否找出正确的高和底呢？若我们细心思考学生的已有知识与现时学习内容的关系及分别，我们就可以更了解他们的学习困难，从而思考帮助他们学习的方法。我们知道学生在日常生活中对高度已有一定的认识，例如上体育课时每人均需量度高度，我们量度高度时需直立地面，以及处身于三维空间中；然而这些图形只是平面图形，学生在认识它们的高度时，它们只躺在桌面上，这与学生对高度的生活经验是否不大切合？我们又可否从他们的生活经验，建构量度图形高度的概念？以上是我们在课程发展中遇到部分的重要问题，希望透过是次分享会，与同工仔细分享当中的发展经验，以及互相交流经验，促进专业发展。

参考资料：

1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。

2. Festinger, L. (1957). A theory of cognitive dissonance. Stanford, CA: Stanford University Press.

M05 「面有难式」 ─ 透过解难活动加深学生对「面积」课题的认识

陈影菲 女士 (高级学校发展主任)
石建嘉 老师 (圣公会圣马太小学)
梁梓媚 老师 (圣公会圣马太小学)

数学科的「解决问题能力」或「解难能力」(Problem Solving Skill)是指学习者能利用已有知识和运用数学的技巧和方法去解决新的问题，并能验证结果。

圣公会圣马太小学教师有感于学生虽能应付基本应用题，但对于一些高层次思考题却表现未如理想，故一年多前申请校本支援服务，期望透过与学校发展主任的共同备课，优化校本课程，加强学生对数学概念的理解，以提高学生解决问题的能力。是次分享会主要藉着小四及小五「面积」课题，分享如何提升学生解难能力的经验。

学生在「面积」课题主要出现的学习问题包括：未能有效掌握周界及面积概念，以致容易把周界和面积的公式混淆；而在计算平行四边形或三角形面积时，学生未能找出「底」和相应的「高」。2007年全港性系统评估报告中更指出「当学生遇到一些非标准的图形或涉及不常见的情景题目而需要灵活运用有关公式时，学生的表现明显比较差。」由于那些非标准的图形是由两个或以上的基本图形组合而成，在计算图形面积时学生往往因未熟习公式或未能处理多步计算而出错。同样的问题也在2008年全港性系统评估报告中出现。另一方面，在处理密铺图形面积和数量问题时，学生往往错误地直接把大的面积除以小的面积，而忽略了不可切割的条件。由于学生在学习「面积」时有以上的谬误，我们重新设计课程协助学生学习，而在讨论的过程中我们达成以下的共识：

照顾学习差异

随着年级的递增，学生的学习差异也随之而扩大，对于一些能力稍逊的学生来说，教师以往较着重他们基本能力训练，未必能提供太多思考空间。在分析学生的学习问题后，一方面，我们尝试重组课程，目的是加深学生对概念的理解；另一方面，我们也加强学生解题策略的训练，希望他们在面对一些富思考性的应用题时，能运用合适的方法去尝试解决问题。在选题方面，我们会尽量配合学生能力，给予适当的提示，协助他们解决问题，保持学习兴趣。

选择合适的学习策略

就此课题，我们选择了「实作」为学习策略，利用模型透过实物操作，让学生从具体到抽象，再进行抽象概括，理解概念的本质属性。在学习面积公式时，我们先让学生透过不同的量度活动〔例如派发平行四边形的纸样，让学生们剪贴和拼砌〕发现面积公式、底和相对应的高的关系等，以加强学生对概念的理解。同时，通过亲身经历切割和拼砌图形，加深学生理解图形特性和关系，明白到利用切割或填补方法来解决有关的问题。

加强学生在不同范畴的知识连系

在解决问题的过程中，学生往往需要综合不同范畴的知识。在计算非标准图形时，学生需要利用对图形特性的认识和处理多步计算的技巧去解难。因此，在教学过程中，我们多从学生已有知识出发，巩固他们对图形切割及拼砌的认识。令我们欣喜的是学生非但没有忘记小四「图形与空间」范畴的学习，更能作多角度思考，例如，在未学习梯形面积公式前，他们已能提供五种不同方法填补或切割梯形成已知面积公式的图形，从而找出面积。

以问题引导学生思考

一般坊间的解难学习材料多在课题完结后作为教学延伸，又或增润项目。但当我们阅览一些教学研究时，发现不同的学者均同意解难能力的发展与概念掌握有着互相支持的关系，而解难能力的培养需于教学过程中积极引入。因此，在整个小五「面积」课题中，我们以解难问题引导学生作深入的思考。在开始阶段，学生确实需要较长时间去思考、探究和发现公式。但是，当完成标准图形面积公式探究后，我们发现学生已掌握了图形切割及填补的技巧。在处理非标准图形时，他们更能独自处理问题。由于整体教学时间并没有增加，教师们担心教学进度的问题，也获得解决。

参考资料：

1. 香港课程发展议会(2002)。《数学教育学习领域课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。

2. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。

3. Lester, F. K. (2003). Teaching Mathematics through Problem Solving Prekindergarten – Grade 6. V.A.: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

4. Ma, L. P. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

5. Polya, G. (1988). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Princeton, NJ: Princeton University Press.

M06 拓阔数学课堂的思考空间─从分析难点到设计教学（四年级）

周伟志 先生 (高级学校发展主任)
文美玉 女士 (借调教师)
吴银英老师 (天神嘉诺撒学校)
蔡婉仪 老师 (天神嘉诺撒学校)

如果你的学生在数学的测考上得到良好的成绩，你仍会考虑改善自己的教学方式吗？

天神嘉诺撒学校的两位四年级数学老师本很满意学生的学业成绩，但当近年学校尝试在数学科试卷中加入一些非常规性或较开放性的问题时，学生的表现却令她们感到意外。老师本已预计学生处理这些题目的表现未必会理想，却没想到很多学生竟会放弃尝试，不作思考，把答案栏漏空便算。老师尝试从观课中了解多点学生解答此类问题的表现，发觉学生未能灵活思考解题策略，表达解题方法时甚欠自信，且未能解释思考过程。

老师共同反思自己的教学与学生表现的关系，当中参考《数学课程全面检讨报告》(CDC, 2000)，了解到自己的教学和香港普遍老师的教学相似，均是以测考为主导的，这样不但导致学生感到学习沉闷，亦令她们产生不少挫败感，对学习缺乏自信，无怪乎她们会放弃尝试解答非常规性及开放性问题了。老师反思到以往偏重以应试模式教学， 强调教授学生以特定的技巧及法则解题，且要学生明白答案的对错及标准的运算过程最为重要，因这样才能确保在测考中得到理想的分数。可是，这也导致学生不爱思考数学问题，缺乏能力运用不同策略解决问题，而且忽略运用语言解释思考过程的重要。

为了改善以上的情况，老师尝试改变教学方式，让学生在数学课堂中通过互动及讨论，共同解决一些富思考性的数学问题，藉此加深他们对数学概念的认识，以及互相启发思维。正如一些数学教育家所强调，应让学生从解决问题中学习数学，甚至如Hiebert et al.(1996) 所提出的，要令学生对数学科充满疑问，从而产生好奇，并主动寻找答案。此外，学生在共同解决数学问题时，能在同一目标下通过讨论、商议及分享共同学习，从中能提升解决问题及沟通能力(Webb, 1991)。课堂讨论也促使学生运用语言表达及重新组织自己的思考，学生在表达时，不但能自我澄清思维，也让教师及同学了解自己的所思所想。

我们透过讨论四年级不同课题中的学习难点共同设计课堂教学，当中的难点包括：在除法中，学生未能有效地利用「试商」方法找出算式的「商」；在四边形中，学生未能有效地比较及描述不同四边形的相同及不相同特性；在周界中，学生未能善用移边方法求多边形的周界等。老师在每次讨论后均会进行同侪观课及课后研讨，老师尤其关注如何设计合适的数学问题，以促进学生的思考。

老师发现数学问题的设计会直接影响课堂的成效，题目应能提供思考空间让学生发挥，让学生可以运用不同策略解决问题，亦可以透过不同表达方式解释策略，这和很多老师认为问题应以深浅难度作为标准的看法不同。老师期望这些题目能扩阔学生在课堂的思考空间，学生在课堂讨论中能了解及比较同学的不同想法，甚至质疑同学的见解，以及回应同学的提问，藉此加深对数学问题的认识。老师在这次分享会中会以下列三个例子阐述她们探讨的历程：

1. 在除法中，老师发现学生只机械式地以单一方法试商，并没有先以数字感考虑除数和被除数的关系，学生虽然能找出答案，但计算时有欠效率，且感到吃力及没有趣味。故老师设计问题，让学生从不同实例中判断及选择自己认为最有效的试商方法，并要学生解释原因。学生了解到试商并非纯是技巧，而是要先思考及判断，老师观察到学生计算除数时较以往积极，且有效率。

2. 在四边形中，学生在比较不同类型四边形的特性时，只需在表格中选择每类四边形各自的特性，老师发现这样学生并不能综合及比较各类四边形的特性，从而深化对四边形特性的掌握，学生也没有机会运用数学语言解释及描述各类图形的异同。于是老师设计开放性问题，让学生选择两类自己认为最相似及两类自己认为最不相似的四边形，学生综合自己对各类四边形特性的认识，从而作出比较及选择，并向同学分享及解释自己的看法，这促使学生从不同角度思考各类图形特性间的关系，以及运用准确的数学语言作出描述。

3. 在周界中，学生求某些多边形的周界时，可透过平移某些边的方法，把多边形转变成一周界与原有图形相同的矩形，然后运用公式计算，这样计算会更为准确及快捷，学生从中也会加深了解周界的概念。可是，老师发觉学生虽已掌握这解题技巧，但当遇到这类问题时，仍会倾向把多边形的每条边相加，不敢以快捷的方法计算，学生表示这样做好像较为可靠。由于老师感到学生缺乏信心运用不同策略解题，于是便设计一题目促使学生运用策略解决──学生要运用策略比较几个多边形周界的长短，并要解释原因，当中用不到逐边相加的方法。活动后，老师发觉学生经深入思考「平移」这策略后，更有信心在日常练习及测考中应用。

老师期望透过这次研讨会和大家分享她们探讨这课题时的经历及所思所想，当中重点包括她们如何从分析学生难点到设计课堂的经历，以及她们对促进学生在数学课堂中思考的反思。老师会以课堂片段阐释学生在课堂中的表现及转变，从而回应对这问题的看法，希望对参与研讨会的老师有一点参考作用。

参考资料：

1. 香港课程发展议会（2000）。《数学课程全面检讨报告》。香港：政府印务局。

2. Hiebert et al. (1996). Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: The case of mathematics. Educational Researcher, 25, 12-21.

3. Webb, N.M. (1991). Task-related verbal interaction and mathematics learning in small groups. Journal for Research in Mathematics Eduation, 22, 366-389.

M07 「分」内留神─分数纵向课程设计分享

曾伦尊 女士(高级学校发展主任)
陈志刚先生 (借调教师)
温志华老师(元朗公立中学校友会小学)
李倩 老师(元朗公立中学校友会小学)
黎秀薇 老师 (元朗公立中学校友会小学)

在香港的小学数学课程中，根据《数学课程指引》，分数是数范畴中的一大课题，在三年级至五年级的学习重点中，分数共占了数范畴的30%建议教节，可见分数概念的学习是数学学习领域中极为重要的一环。分数和许多重要的数学概念有着密切的关联性，是学生学习基础数学知识所必需的。当学生具备基本的分数概念后，才能进一步学习有关分数的四则运算问题(Adalira, 1990)。因此，学好分数十分重要，然而分数涉及非整数概念，较抽象难明，各级学生在学习分数时，都会遇到不同程度的困难。

在进行分数教学时，除了须注意学生过去学习经历及日常生活经验，对分数概念建立之影响外，课程的编排顺序与学童身心的发展也须紧密配合。从Van Hiele (Fuys etal.,1984)几何发展模式中可知，三、四年级学生的几何思考特性，正在视觉期，对基础分数的教学应多用几何图，如圆形、矩形等作为分数学习的启蒙。在教学过程中，亦应由图形转换成符号来辅助分数概念的学习，此类学习经验对学生获得稳固的分数概念及对四至六年级学生操作分数具有极重要的帮助，学生较能有效地进行分数概念学习 (Post, Wachsmuth, & Behr, 1985)，因为在概念中，最容易的是符号转换成语言，最难的是透过图形转换成符号(Lesh et al., 1987)，若学生能透过图形、具体物、语言、符号等，这一类外在的数学表征形式表达分数的操作，我们便可以得知学生内部的数学思考。

元朗公立中学校友会小学的老师尝试参考数学教育组分数教学资料册(第五辑)，有系统地设计分数的纵向课程，运用绘图协助学生连贯不同阶段分数概念的学习，解构各级难点，让学生充分理解分数。老师们就三至五年级分数课题的不同难点作了深入的探讨。几年的共同备课中，大家在分数教学尝试采用了绘图法来贯通各级学习活动的设计。经过多次研课、观课及不断反思改良，累积了一些设计活动的经验。希望透过分享与其他老师交流，在教学上运用画图协助学生建构分数概念，及让学生透过探究活动以画图去建构分数的概念及解答难题。

在三年级的课程，由于学生首次接触分数，学生在学习分数概念之前的非正式知识及已有知识亦会影响课堂上的学习效果 (Davis et al., 1990)，让他们掌握分数的基本概念(如用分数表达整体的一部分或一堆物件中的一部分)非常重要，因为这些知识就是日后所有非整数概念课题的基础。Behr et al.(1988)认为运用绘图将图形切割成几个等分，或者将一个集合等分成几个相等的子集合，这两种分割概念是分数启蒙过程，也是理解分数的基础和技能。老师们针对同学的几何思考特性，正在视觉期，尝试多应用几何图形，如圆形、矩形等，带出等分的观念。学生除了懂得判断等分的图形外，还探究如何等分不同的图形。在教学过程中遇到很多设计图形的问题，然而经深入讨论后，老师们均认同活动的难度，但仍希望同学可处理各种不同难度的设计图形，巩固分数的基础概念。及后当学生比较分数大小时，往往会将分数表达成整体的一部分或一堆物件中的一部分来比较，导致不能作出有效的判断。教师若不运用绘图来阐释及澄清，协助学生选取适当的概念，以绘图准确地表达，必会影响往后四年级的分数学习。

四年级学生需要学习操作分数，不但要把分数分类，还要懂得将带分数和假分数互通。然而这部分教材由于太过操作取向，只着重方法、程序、规则、技巧与演算，即是将整数乘以分母再加分子转化为假分数的分子；或将假分数转化为带分数，即是将分母除以分子，商为带分数的整数部分，余数为带分数的分子等，导致学生只懂得机械式地将带分数和假分数互化，无法真正了解带、假分数互通的意义及其延伸的相关内容。而这些分数概念的学习，老师们均认为不应只重视机械式的练习，必须强调真正的理解，于是让学生运用三年级所学绘图的知识，尝试绘画等值的带、假分数图形，推论并解释它们之间的关系，并得出互通的方法。整个活动需时较长，却能令学生真正明白理解操作分数的意义。到学习扩分、约分、甚至把同分母分数相加减时，学生均可根据所学，进一步运用绘图建构如何把整数与分数作相互加减，理解为什么要先将整数化为同分母分数，然后才相加或相减，澄清四年级学生在这部分常会产生的疑问。

到了五年级处理异分母分数加减时，同学对通分母最感困难。老师们于是根据学生三、四年级所学，从比较分数大小出发，刻意让学生运用绘图比较一些接近的分数。老师们沿用了学生在三年级熟习的图形来均分，大大减低绘图的难度，使学生较容易发现必须将两分数之分母化成相同，才能真正比较，从中明白整个通分母的过程及原则，自行建构如何把异分母分数化成相同分母，然后作相加减，真正理解为什么要先通分母然后才能将异分母分数加减。

参考资料：

1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。

2. Adalira,S.L.(1990). Children's Fraction Schemes: A Developmental Analysis of Numeration Among Remote Oksapmin Village Populations in Papua New Guinea . In: Child Development 1981/52:S.306-316.

3. Behr, M. J., & Post, T. R. (1988). Teaching rational number and decimal concept. In T. R. Post(Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8: Reach Based Methods (190-231). Newton, MA: Allyn and Bacon.

4. Davis, G., & Pitkethly, A.(1990). Cognitive Aspect of Sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 145-153.

5. Fuys, D., Geddes, D.& Tischler,R.(1984) An Investigation of The Van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents. New York :Brooklyn.

6. Lesh, R., Behr, M. & À Post, T.( 1987). Rational Number Relations and Proportions. In Janvier,C(Ed) Problems in the Teaching and Learning of Mathematics. London: New Jersey.

7. Post, T., Wachsmuth, I. & Behr, M. (1985). Order and equivalence of rational numbers: A cognitive analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 16, 18-37.

M08 反思小三除法、分数和平行与垂直的学与教

吴沛 荣先生 (高级学校发展主任 )
林紫燕 老师 (佛教陈荣根纪念学校)
李淑敏 老师 (佛教陈荣根纪念学校)
梁玉莲 老师 (佛教陈荣根纪念学校)

在共同备课的会议中，老师经常会问这样的一个问题：「这个课题应该教些什么？怎样教？」，反映出老师期望在课程上能作出适当的调适来配合学生学习上的需要，帮助学生在学习上有更好的表现。传统的数学教学，以老师讲解为主，以结果为导向，注重数学知识的传授，不注重学生的学习感受和数学知识形成的过程;而学习内容亦以教科书为依归，未能针对学生实际的需要，阻碍了学生的思维发展。2000年编订的小学数学课程指引，清楚揭示了「数学科的教学不应只注重求取正确的答案，更应重视学生的学习的过程和数学的应用上」，并且提出了让学生透过不同的学习活动愉快地学习来培养他们的思维能力。同样地，香港课程发展议会在2000年发表的《数学课程全面检讨报告》中，亦明确地指出「数学应视为一种智力活动和思考方式，而不仅是一种工具」、「教师应为学童提供机会，让学童探究、发现和建立数学概念、数学应重视数学学习的过程，而非活动的成果」。报告中又指出教师是学生学习过程中的关键人物，教师的个性是决定学生是否喜欢该学科的主要因素，而教师对课程的充份掌握，教育目标的认同以及专业精神，均是课程改革的先决条件。

佛教陈荣根纪念学校的老师，三年前开始在小三级别发展校本的数学课程。在教学上，老师尝试从过往的知识传授者转变为学生学习的参与者和促进者。因此，在教材和教学活动的设计上，强调教学的互动性，多让学生进行探究、推理和解决数学问题。老师亦透过激活课堂的对话，关注每一位学生的发展，加 强老师与学生、学生与学生之间的思想交流。他们不再只是组织教学，牵着学生的鼻子走，而是走进学生中间，认真观察，仔细倾听，设身处地感受学生的所作所为，所思所想，随时掌握各种课堂中的各种情况。同时在过程中并考虑下一步如何指导学生学习，引导学生清除问题的种种障碍，并且给与学生精神上的鼓励，营造良好的学习气氛。

然而，老师在这几年教学转变的过程中，并非如想像中那么顺利，老师在实践的过程中遇到不少的冲击，例如老师在课后分析学生的作品时，并不是那么容易。由于这些分析往往是建基于老师个人的判断、对本身教学环境的认识、对教育的价值观、信念和经验（McNamara, 2002），所以对于了解和处理学生的学习问题上，不同的老师，会有不同的想法。因此在共同备课会中，老师需要用上较多的时间进行商讨，才能达成共识；而在引导学生思考和激活课堂对话方面，老师亦发觉在掌握有关的教学技巧上，并不纯熟，经常要与同工一起学习和讨论。正如Kincheloe（2003）所言，教师作为研究者，必须视教学工作为学习的地方和重视同侪间的协作，并且能自我导向，对自己的工作有较高的要求。因此老师在教学反思的进程上，虽然遇上不少困难──有时是在信念上、有时是在技巧上、有时是在文化上，但是透过老师坦诚的对话和协商，都能得以解决，为校本课程的发展建立了良好的根基。

在是次的分享会中，老师会从三年级三个不同的课题：除法、分数、平行和垂直，分享自己如何在面对教学观念的转变和学生的学习问题上，设计有关的数学问题和教学策略，让学生在课堂解决问题时，能进行讨论及交换意见，从不同的角度来分析及理解有关的概念和知识，加深他们对这些课题的认识，而老师则透过同侪观课和课后研讨来检视学生的学习过程，当中亦会以学生的课堂片段、堂课、家课和评估表现作为依据，对教学的设计及回馈，作出进一步的调适：

除法

二年级学生在学习除法运算时，由于刚学会一位数乘以一位数，所以他们只需要学习除法一步的运算，然而当学生升上三年级后，他们学会习一位数乘两位数/三位数之后，便会继续学习一位数除两位数/三位数，而当中所要求的运算步骤，是学生需进行两步至三步的运算，这样才能作找出合理及准确的结果，但部份学生却仍然受二年级除法运算的经验所影响，仍然以一步运算为主，引致学生在计算上出现颇多失误，尤其是在试商的过程和处理一些有多余数和需要「补零」的题目里。为了解决这些问题，老师便先让学生以纸币和硬币进行分物的活动，以了解一位数除两位数/三位数的概念，然后才帮助进行运算的步骤。然而老师在课堂的观察上，发觉透过分物的活动亦未必能改善学生的学习果效，除非学生能真正认识这些分物活动与除法运算步骤的关系，这样学生在除法的表现上才有较理想的结果。换句话说，学生在学习数学的过于中，必须要掌握有关的数学概念与解决程序的关系，这样才能学懂有关的数学课题。除此之外，老师从这次的教学经验中，认为要帮助学生明白分物活动与除法运算的关系，并不能 单单依靠老师的解释，而是要让学生在课堂上进行讨论和质疑的学习过程，再由老师引导下，使他们找出分物活动与除法运算的关系，真正认识一位数除两位数 /三位数的意义，而过往只侧重运算技巧的教授或学习活动的安排，并不能真正帮助学生认识有关的课题。

分数

分数是三年级学生较难理解的课题，学生在学习「分数作为整体的部分及一组物件的部分」时，其中最重要的是要认识分数与整体的关系和等分的概念。因此，老师为了帮助学生掌握有关的数学概念和知识，便利用了摺纸、图像、分物等活动来引导学生理解有关的概念；而学生在整个学习过程中，大部分能利用不同的摺纸和划图方法正确地表达分数作为整体的部分。但当分数作为一组物件的部分时，却有不少学生未能把该组物件分割成某数量的等分。老师认为这主要是学生未能厘清整体的部分与一组物件的部分这两者的关系，故此才出现了上述的学习问题。为了帮助学生更了解这个关系，老师在课堂上便把摺纸、划图和分物等活动互相连系，藉着小组讨论，使学生更能认识有关的概念，而在课后的检讨会议中，老师都认为学生的学习表现亦比预期的好，学生虽然在当中进行了不少的课堂活动，占用了较多的课堂时间，但其实与过往未进行课程调适时相比，授课的时间却又并没有增多。这主要是因为老师在授课前的备课会中，早已提出了有关的学习问题，所以在教学的时间上才能作出事先的安排和配合。除此之外，老师发觉在日后高年级的共同备课会议中，五年级分数乘法的概念和六年级的百分率的应用课题，与三年级分数中等分的概念有着密切的关系，从而体验到数学课程纵向发展的重要性。

平行和垂直

老 师在教授平行线和垂直线这两个课题时，讨论先教授哪一个课题会较为合适。有老师建议先教垂直线的课题，因为可帮助学生从垂直距离的定义来帮助学生分辨平行线；但有老师却持不同的意见，认为必须先教平行线的课题，让学生了解平行线是指两线不断延长时永不相交的特性后，然后才引入垂直的概念，这样学生才会较容易掌握两者的特性和分别。最后，老师经过商议后，还是决定先教授平行线这个课题，但却采用了不同的教学方法；一些是强调在同一平面内的两条直线，无论怎样延长也不会相交的特性；而另一些则先引入垂直的概念，然后以两线之间的垂直距离处处一样的特性来分辨两线是否平行。老师在观察学生的学习过程中，发觉如果采用前者的教学方法，学生的学习表现较为理想；而采用后者的教学方法，学生的学习表现则比较逊色。这主要是由于老师在引入垂直的概念时，学生对垂直的概念还未能完全掌握，便要开始量度两线之间的垂直距离，所以量度出来的结果比较为容易出现偏差的情况，导致学生未能因此而准确地判断两线平行与否。老师在是次的教学经验中，体会到在教授新的数学知识和概念时，必须要考虑学生的前备知识是否足够，而课程内容编排的次序又是否恰当，符合学生认知能力的发展，这样才能使学生的数学习更有效益。

老师从这三个课题的教学经验来回顾过往的课展工作，对于展望将来的数学校本课程发展工作起着重要的启发作用，亦期望将这些经验，和与会的数学同工分享。

参考资料：

1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。

2. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程全面检讨报告》。香港：政府印务局。

3. McNamara, O. (2002). Becoming An Evidence-Based Practitioner. London:Routledge Falmer.

4. Kincheloe, J. L. (2003). Teachers as Researchers. London:Routledge Falmer.