以行求知- 教学．学教 - 序言 -数学
数学学习领域
陈影菲女士 (高级学校发展主任)
陈露明老师 (圣公会圣多马小学)
陈李玉珊老师 (嘉诺撒圣方济各学校)
摺纸图样的学习问题
2000年推行的小学数学科课程中，在小五加插了立体图形的摺纸图样学习，不少教师都察觉到学生学习摺纸图样时存在着颇大差异。空间感弱的同学，老师即使竭尽九牛二虎之力，也无法让学生理解如何识别摺纸图样。相反地，空间感强的同学很快便能看出纸样是否能摺出指定的立体图形，又能按立体图形各个面的图案绘画包含图案的摺纸图样。此类题目也常见於智力测验，我们不禁提出疑问：「空间感」是否天生的、无法改变的内在能力？
另一方面，摺纸图样的学习与一般数学学习略有不同，当中不但没有计算步骤，表面上又好像没有逻辑推理，感觉抽象，难以应付，有些老师什至怀疑是否需要学生背诵。
至於教科书的编排，往往也令老师难以理解。它们一般会把正方体或长方体的纸盒以不同的途径沿边剪开，揭示几款不同的摺纸图样，然後就草草进行练习。然而对於如何识别摺纸图样，解释当中面和边的关系及构成要素，则没有详细描述。部分老师阅读後也摸不清这方面的要求，试问又怎会有信心地施教？故此在课程紧迫及学习差异大的情况下，老师多只是轻描淡写地带过这课题。
教师近年开始留意到以上的学习问题，希望逐步改善学生的学习，于是一起分析课程要求和配合儿童空间概念的发展，设计相应的探究活动，期望能优化学生的学习。
图形与空间范畴的概念学习
培养学生的「空间感」是小学数学科课程教学宗旨的重要一环。「空间感」是指一个人对其周围环境及事物的直觉感觉(NCTM, 1989)，这方面的学习潜藏於图形与空间范畴教学中。
Clements & Battista(1992) 将空间知识(图形与空间范畴)分成几何思考与空间思考两类。几何思考主要是探索物体的属性如形状、大小、方向等，以及经过种种转换之後不变的性质。例如：小一学生发现立体图形滚动和堆叠等特性，于是加以分析、比较和分类，归纳图形的特性及根据分类命名，建构知识。目前一般学校所教的主要是这一系列的知识。
空间思考则主要包含两部分，一是空间导向──理解及操作物体位置的关系，如在迷宫内找出路；另一要素是空间的视觉想像(visualization) ──理解及想像平面或立体空间里的物体运动。空间思考最主要是运用「心像」的能力。所谓「心像」是指我们看到物体之後能留下的印象，当该物体不在时也能回想该物的样子。我们的种种知觉运动也都可以留下心像，没有这些心像也就没有想像。心像可以说是一种符号，代表所经验到的事物，所以也是事物的表徵。例如：当我们听到「五元」时，脑里便会浮现硬币的形状。学生要运用空间思考的能力(就是指操控心像的能力)，将原有心像加以分解，或改变原有心像的方向，如翻转、旋转或调换位置，把平面的纸样想像成一张可摺成立体图形的模样。
Clements & Battista(1992)提出儿童的认知能力是一个潜在的能力，这个能力会因为经验而有不同程度的展现，例如：初小数学科课程主要教授几何思考的课题(如三角形、四边形等)，由於学生这方面的经验较多、较为熟悉，所以表现较佳；至於空间思考的课题，由於经验相对较少而表现稍逊。他认为空间直觉不是天生的，而是从主动操作环境中建构起来的。如何协助学生有效建构空间知识成为我们共同备课研讨的焦点。
分享会简介
本环节由圣公会圣多马小学和嘉诺撒圣方济各学校的教师分别分享正方体及长方体摺纸图样的教学经验及学生表现。在筹划摺纸图样教学的过程中，两所学校曾共同商议学习难点及分享施教经验，又进行课堂观摩，实际地了解学生学习情况，在实践的过程中，我们有以下发现：
1. 教师认同学生需要透过实物操作探究摺纸图样六个面的组成要素，并在操作前加入猜估环节，让学生先估计後验证。部分学生在猜估中出错，以致他们更主动地检视平面图形在翻转、旋转时的改变。这方面的安排能有效引导学生从具体操作过度到抽象想像，最後进行抽象概括，增强空间想像能力。
2. 教师组织小组讨论活动，要求学生与朋辈分析和讨论，透过推测和检视、解释和互评，深化概念理解。同时，教师根据学生之间的学习差异，尝试把课业细分成不同的探究项目，按学生能力分发，让他们各展所长，增进互动交流，彼此学习。我们观察发现学生能提出质疑或尝试向小组同学解释图样在摺叠时的改变，大大增加了课堂的互动学习。
3. 在研讨的过程中，教师特别着眼於概念间的连系，就是怎样由一个概念牵引到另一个概念。长方体摺纸图样比正方体摺纸图样更复杂──除了要考虑各个面的摆放位置外，还要顾及对应面的位置及与边长的关系。我们刻意选取了一些解难活动作为正方体摺纸图样的教学延伸，深化学生对正方体各对应面组合的认识，为日後长方体学习做好准备。教师发现此安排不但提升学生解难能力，亦能协助他们在讨论长方体摺纸图样时，更准确地解释对应面的关系，从而提升学习成效。
4. 解决日常生活的问题往往需要学生综合不同范畴的知识，这方面的能力发展在高年级尤为重要。故此，我们设计了一个实作的跨范畴评估课业──为固定体积的长方体设计摺纸图样，学生需要综合利用长方体体积的计算技巧和摺纸图样的认识去解决问题。令我们欣喜的是学生非但没有忘记数个月前的学习，更能作多角度思考，设计出不同的摺纸图样，并能清楚地解释及互评。
实践证明，空间探究的能力是可以借丰富学习经历而得到提高的 : 有系统地组织学习材料及学习活动能让同学更易掌握学习内容。同时，教师在课堂开首阶段明确地点出学习目标，有利於学生理解课堂「所为何事」，此安排亦令讨论和学习更加清晰和聚焦。另一方面，通过猜测、验证、反思和讨论，逐步培养学生探究能力，可以使学生学习更主动和积极。教师期望透过是次研讨会和大家分享她们的构思和经历，当中包括分析学生学习难点、教学设计、课堂实践时遇到的问题及评估发现。研讨会设有小组讨论及实作环节，希望参与的教师对这课题有更深入的了解及思考。
参考资料：
1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Retrieved Dec 31, 2010 from, http://www.fayar.net/east/teacher.web/Math/Standards/Previous/CurrEvStds/k4s9.htm
3. Clements, D., & Battista, M. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. In D. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 420-464). New York: Macmillan Publishing Company.
李润强先生 (高级学校发展主任)
锺桂兰老师 (佛教林炳炎纪念学校)
陈庆顺老师 (佛教林炳炎纪念学校)
雷志荣老师 (圣安多尼学校)
解答应用题是小学数学课程的重要课题，不同类型的应用题遍布在一至六年级多个单元里，当中的题型包括「一步运算的四则应用题」、「两步或以上运算的四则应用题」、「小数四则应用题」、「分数四则应用题」等。
在教授不同年级的应用题中，教师常遇见学生有著种种不同的困难。在一、二年级的阶段，普遍学生识字有限，语文能力不足以理解整道题目的意思，他们在审题时又态度轻率，未有完整阅读每句句子，只看部分关键字词及数字便思考计算的方法。因此，普遍低年级的学生在文字理解、审题技巧及态度方面需多加改善。
另一方面，当学生认识了加、减、乘、除的四则应用题後，他们面对更多不同的词汇、情景及提问，题目的内容亦会不断加深，要求学生较高层次的思维能力—— 推理、批判、创造、解难等思考能力，才能理解题意及解决问题。
小学数学的应用题分布在多个范畴里，各年级的题型有著不同的重点。本分享会著重分享与佛教林炳炎纪念学校老师及圣安多尼学校老师共同发展第一学习阶段解答应用题的纵向策略，针对初小学生的困难及课程重点，从小培养学生认真审题的态度，加强应用题文字的理解，从而构思了「解题四步曲」── 解答应用题策略。
另一方面，当学生面对不同运算或复杂情景的应用题时，他们需透彻理解题意，以及掌握运算的概念，然後才懂得应用相关的运算步骤，解答题目的要求。然而在学生学习的过程中，他们往往遇见很多不同的困难与误解，为针对个别学生的误解，我们尝试设计小组讨论活动，让每位学生分享自己对题目的理解，然後透过互相讨论及质疑，让他们尝试互相协助，厘清误解。
培养学生数学的思维及应用数学的能力，关键在於解难(problem solving)、描述(representing)、探究(enquiring)、推理(reasoning)、沟通(communicating)（Derek Haylock & Anne Cockburn, 2008）。我们希望利用小组讨论活动，让学生利用语言或图像沟通，描述自己对题目的理解，把当中的误解彰显出来；然後共同探究、推理及解难，让大家的误解愈辩愈清，逐步提升他们的数学思维及应用数学的能力。
随後，我们又尝试引导学生自拟应用题，原因是要引发儿童学习应用题的积极性，便要通过他们的主动学习，让他们「创造」问题。自拟应用题就是引导学生「创造」数学问题。在自拟的过程中，学生更能理解自己的问题。郑振初（2001）指出通过应用题，学生可以：
1. 加强对应用题的掌握；
2. 锻练思考能力；
3. 培养分析能力；
4. 提高学生的数字感；
5. 培养观察日常生活问题的习惯。
以下简述三项已发展的策略及步骤：
应用题基本教学策略（一）：解题四步曲
为加强学生解题能力，教师在课堂上加强学生读题及解题的训练，多让学生用自己的语言解释题意。我们鼓励学生先认清题目的意思，然後才思考计算的方法，借此培养学生认真审题的态度，以及提升学生理解数学语言的能力。
学生解题步骤：
1.轻声读题
2.圈出重点
3.用心解题
4.列出算式
此策略适宜於小一的加法、减法应用题开始引入，继而可以在小二及小三应用题单元进行巩固，让学生从小认识培养认真审题的态度，打好学习应用题的根基。经教师尝试後，我们察觉到他们透过读题、圈出重要的资料、解释题目的意思，然後才思考计算的方法，渐渐养成认真理解题意及题目的要求，而非只著眼於关键字，匆匆看完题目便立刻列式计算。有教师表示过往主要由自己读题，後来让学生读才知道他们有很多字都不懂读音，影响他们理解题目的意思。
应用题教学策略（二）：小组讨论
即使学生养成认真审题的态度，能解答一些常见的应用题；但当他们遇到一些较复杂情景的题目，又或是混合不同运算的应用题时，能力稍逊的学生会感到困难。
「小组讨论」是让他们透过互相讨论及帮助，互相刺激思考，而能力较高的学生可帮助能力较弱的学生，教师亦能透过观察他们讨论，更能理解各人的差异与误解，然後透过汇报及全班讨论，把各人的误解愈辩愈清，从而提升照顾个别差异的成效。另一方面，学生透过小组协作活动，有助发展他们的沟通、协作、批判性思考等共通能力。
学生解题步骤：
1. 学生个别列写横式
2.小组讨论
3.个别/小组汇报
4.计算结果
此策略适宜於教授某单一运算的应用题後，教师把不同运算的应用题混合，让学生利用以上小组讨论的策略互相解题及思考计算的方法。然而，此策略要求学生需有一定的说话能力，以及运用数学语言表达思考；因此，若能加入一些讨论技巧及常规，学生的表现会较为理想。
经与教师讨论後，大家认同在小二阶段引入较为合适，我们在教授加、减应用题单元中，当学生对书本上的应用题有一定的认识後，我们把加、减应用题混合，加入一些较艰深的题目，然後运用「小组讨论」策略让学生互相解题。随後，在教授乘法应用题时，我们同样地混合加、减、乘法应用题，让学生透过小组讨论共同协作、解决问题。从观察学生的讨论及汇报，教师认同小组讨论有助他们发现学生的难点及误解，大家透过互相解题及辩证，能把当中的难题愈辩愈清晰。
应用题教学策略（三）：自拟应用题
学生透过小组讨论较复杂的题型，能有效地提升他们高层次的思维能力。为进一步提升学生的学习动机及更高层次的思维能力（例如创意、批判性思考等），以及加强联系日常生活与数学的关系，利用「自拟应用题」便能达到较佳的效果。
「自拟应用题」没有一定的处理方法，而教师较常著学生拟题後，便收回由教师批改。部分教师会把精采的题目加以赞赏，例如张贴在壁报板上，但很多教师察觉部分学生只抱著「交功课」的心态拟题，提不起劲思考。
是次分享的「自拟应用题」分为两部分——「拟题」及「验证」，我们鼓励学生先透过分组拟题，然後交换互相验证。我们察觉到很多小朋友的好胜心强，拟题的学生希望拟出艰深的题目，不要让别组验证的同学理解及计算；另一方面，验证的同学希望找出拟题同学的错处，或找出该题的答案。
我们察觉到学生在「自拟应用题」的思考层次及空间较以上的两种策略更高更阔。原因是当学生是「拟题者」的角色时，他们需创作及思考日常生活的难题，可用相关的数学知识解答，然後运用文字表达出来；另一方面，当学生是「验证者」的角色时，他们不单只思考验证题目是怎样计算？还需首先思考题目中是否包含足够的资料？情景及资料是否合理？就是同学的自拟应用题会否不能计算？这些问题都是验证的学生必须思考及讨论，相对他们在讨论老师给予的应用题时，他们只需讨论如何理解和如何计算即可，而「自拟应用题」更能启发学生的思考空间及高阶思维。
学生解题步骤：
1. 教师给予指引及示范拟题
2. 小组自拟应用题、组内验证
3. 组与组互换验证
4. 小组汇报
此策略适宜於较以上两种策略後期采用，然而这类活动需占用较多时间，教师宜先在课堂进行一至两次的自拟应用题活动，让学生掌握拟题的技巧及互相验证的方法；然後在往後的单元中，教师可鼓励学生在课余时间进行自拟应用题活动，亦可以比赛的形式进行，加添趣味性，这样便可减少占用课堂的时段。
我们希望透过是次分享会，与同工深入讨论以上解答应用题的策略，以及配合学生的认知发展与课程发展的纵向策略。
参考资料：
1. 郑振初（2001）。《小学数学课程与教学》。香港：香港教育学院。
2. Derek Haylock & Anne Cockburn (2008). Understanding Mathematics for Young Children. SAGE
陈钢先生 (高级学校发展主任)
李国乔老师 (圣文德天主教小学)
袁国庆老师 (圣文德天主教小学)
陈浩民老师 (圣文德天主教小学)
「教育改革的整体精神是以学生为本……不断自学、思考、探索」(教育统筹委员会，2006)，希望学生在学习的过程中多作思考，从而探求知识。另外，我们亦常听到在小班的教学环境中，让学生参与小组讨论、利用提问及给予回馈的重要 (Galton，2009)。在数学科来说，提出上述的教学模式，是希望转变以教师为中心，学生只是听讲接收；教师宜鼓励学生多思考，并利用小班的优势，透过提问等方式，让学生建构所学课题的数学概念。欣喜的是，从近年与不同学校教师的备课经验中，察觉每当商谈教学策略时，教师多会提出「不要直接告诉学生、让他们自己想出来」，可见教师已把学生放在教学的中心，并尝试透过不同的探究活动，刺激学生思考。
随著「学生需要多思考」的意识之提高，教师明白如要学生想出数学概念，下一步要关注的便是「如何让学生建构数学概念」。教师重视学生思考的机会，多利用探究活动的形式让学生思考，即让学生进行分类、归纳、辨析等不同活动，从而让学生主动建构数学知识、认识数学内容。但进行探究活动是否必然有利学生学习？怎样铺排有关的探究活动，是教师需关注的事宜。举例来说，在教授梯形时，给学生一些不同的图形，然後要求学生分类，学生是否便能说出什麽是梯形？在教授三角形面积时，给学生一批三角形图案，学生是否便能由此发现三角形的面积公式？让学生建构知识的意识无疑是强了，但若一下子放得太松，遇到任何课题，都放任让学生自行发现，学生是否就能明白有关内容？怎样安排合适的课堂探究活动，对活动细节的拿捏，仍需大家进一步思考。
对於进行探究活动的方法，Borasi 教授 (1992) 曾提及数个进行数学探究活动的方法，现摘录部份如下：
(一) 利用较不常规的课题进行探究；
(二) 利用学生的错误作为探究的平台；
(三) 提供机会让学生多作意见交流。
圣文德天主教小学的教师，将以上的方法，融入於小学三年级「垂直线、平行线、平行四边形」课题的教学中。我们透过备课会的讨论，仔细商谈教学的细节。举例说，是否给学生不同的图案，然後要求学生分类，学生就能辨认哪些是垂直线？这样可能对学生要求较高。那么，直接告诉学生什麽是垂直线，学生又何来探究、思考的机会？经过讨论，教师决定在课堂上先让学生了解垂直线的意义，然後让学生自行辨认不同形式的线段是否属垂直线，学生虽未有探究垂直线的定义，但亦不限於只聆听老师解说各例，而能在活动中透过例子和非例子探索垂直线的特质。教师明确了解探究的重点是垂直线的特质，而非垂直线的定义，而探究的方法，就是引入较不常规的例子，刺激学生思考；借著学生的错误为探究的平台，让学生以小组形式进行讨论，从而加深他们对垂直线的理解。
在整个教学单元的设计上，教师都利用上述原则设计活动，并减少直接解说、讲授的时间，令教学能在学生自由探索及教师讲授两者之间求取平衡，从而增加学生思考的机会。
除有关探究的元素外，教师在课堂中亦采用了各类例子和非例子进行教学。这方法普遍为教师所采用，举例来说，加拿大安大略省的课程文件 (Ministry of Education, 2008) 就曾提及，学生可从检查不同构造的平面图案中获益，建议教师除了给予学生大量明确的例子，还须展示非例子，以帮助学生消除不相关的特徵及聚焦於需要学习图案的属性。教师在整个单元的教学中，让学生从不同的例子中认识垂直及平行的意义。至於提高教学效能的关键，就是教师在课前要有充足准备，思考、搜集各类例子与非例子，在教学时能灵活利用有关例子引导学生学习。
圣文德天主教小学的教师将有关教学经验，套用到整个垂直线、平行线及平行四边形的单元。在分享会中，我们会分析学生的想法，并谈及教师的处理手法。至於学生的学习难点，我们有以下的发现：
(一) 由於部分学生不习惯利用直尺检查两线是否互相垂直，因此教师需在活动中，不断强化学生利用工具进行验证的意识，希望帮助学生减少只以直观作判断的习惯。
(二) 在教授平行四边形时，教师让学生绘画平行四边形，发现学生有不少困难。原来学生能掌握、辨认平行四边形，但当学生绘画平行四边形时，却混淆了线段的平行及长度等概念。
(三) 在方格纸上绘画平行四边形时，学生亦不多利用方格纸背景所提供的线段作参考。
第二及第三个问题，反映了学生对平行四边形的认识，以辨认整体形状为主，学生需经历更多的学习，才能进一步掌握图形对边平行且相等的特性。这显示学生在几何思考的发展，仍处於较初期的阶段，他们是先观察图形的整体形状，经过一段时间的探索、学习，才能进一步认识图形的特性。这与 van Hiele 所提出的儿童几何概念的发展脗合。如刘秋木 (1996) 解释几何思考的发展阶段所言，在几何思考发展初期的儿童能辨认三角形或正方形，但其辨认只依其整个形状，不会分析图形的性质 ……所以他们会说一个图形是长方形，因为它像个窗。对於两个图形的区别说不出理由，只说就是看到的。假如儿童说这是一个菱形，并非表示他知道它的四个边相等，而只是「这个形状和我以前学过的称为『菱形』的图形相似。」 教师需在教学中，协助学生检视平行线的特性，提醒学生在该课题的学习经验，才能帮助学生掌握有关图形特性，解决相关学习问题。
在分享会中，我们会利用课堂片段，检视学生的学习情况，亦会透过课业，分析学生的表现，希望借此与同工分享有关教学经验，让教师了解：
(一) 进行探究活动需注意的事项；
(二) 学生在学习有关课题时，他们有那些常犯的错误，并思考解决方法。
参考资料：
1. 教育统筹委员会 (2006)。《教育改革进展报告 (四)》。香港：香港印务局。
2. 刘秋木 (1996)。《国小数学科教学研究》。台北：五南图书。
3. M. Galton & T. Bell (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong Final Report. Hong Kong: Education Bureau. Retrieved Dec 30,2010 from, http://www.edb.gov.hk/sc/edu-system/primary-secondary/applicable-to-primary/small-class-teaching/reference.html
4. R. Borasi (1992). Learning mathematics though inquiry. Portsmouth, NH: Heinemann.
5. Geometry and spatial sense, Grades 4 to 6 (2008). Ontario: Ministry of Education.
萧霞萍女士(高级学校发展主任)
李永佳老师 (天主教领岛学校教师)
李珈琳老师 (天主教领岛学校教师)
课堂提问的重要性
小学数学课堂中的提问是课堂教学的重要组成部分，也是教学中使用频率最高的教学方法之一。一样的教学内容，不一样的提问方法，会产生不一样的教学效果。恰到好处的课堂提问，能有效激发学生的好奇心，促进学生的思维，提升学生的学习兴趣。
然而在日常教学中，课堂提问仍存着一些问题。视学周年报告(2007 – 08)指出：「课堂上善用促进学习的评估是提升学生学习效能的关键，教师根据清晰的学习目标，结合有层次的提问和适切回馈是基要的策略。……教师仍须继续探讨如何配合教学目标利用有层次的提问，引导学生深入思考，并运用追问及转问引导学生廓清概念，深化学习，以提升他们的学习能力……」(香港教育局质素保证分部，2009)
课堂提问的现况反思
根据两岸三地对课堂提问的研究，我们归纳出下列问题：
1. 提问只重数量而轻质量
l 课堂中过多的一问一答，常常使学生缺少思维的空间，表面上热闹，但是实际上学生处於较低的认知和思维水平上。
l 高层次问题，涉及「分析」、「综合」、「评鉴」、「应用」等能力的问题严重不足。
2. 候答时间过短
l 学生回答问题是需要时间酝酿和思考的，但教师在提出问题後，往往在极短的时间内要求学生给予答案，学生的思维无法进入真正的思考状态。
3. 重提问而轻回馈
l 学生回答後，教师太早下评价，未能鼓励及引导学生从不同角度思考或深入探究问题。
l 提问只注意结论，而忽视对学生思维过程的考查。
教师提问技巧未臻理想的原因很多，如教师不清楚认知能力之类别(Ladd, 1970)，未能体认高层次认知性问题之重要性(Brozeck, 1974)等。Claus (1969)认为，教师难得提出高层次认知性问题，可能原於不懂如何编制题目以供提问。Bremer (1967)认为，教师对提问功能的了解不够，也是造成未能善用提问的因素之一。
教师提问技巧之培训
「教师发问技巧」一书的作者张玉成(1999)，综合了西方国家和地区对教师提问技巧的培训实验，归纳提出下列要点以供参考：
1. 教师提问技巧，可经由特定课程之培训予以加强改进。
2. 教师提问技巧培训的主要内容，包括提问功能之了解、认知层次之掌握、问题类别之熟悉、各类问题之编拟、候答时间之改善、及其他提问、候答、理答技巧等等。
3. 提问技巧培训之目的，著重加强下列教师的能力：编制良好题目、各类问题并重、候答时间合宜、引起学生反应、激发学生思考、目标确定等。
基於一次性的讲座或工作坊对教师的实质作用有限，天主教领岛学校与本组协作进行有关有效提问的行动研究。自2009 ─10年度开始，以当时就读四年级的学生为对象，横跨两个学年的追踪、观察、检讨及反思。主要活动如下：
1. 阅读相关文献，先掌握基本概念。
l 问题分类
Bloom’s Taxonomy的六个认知层次及相关问题类别，包括记忆、理解、应用、分析、综合和评鉴。
l 提问技巧
Resnick提出数学提问的四个技巧，包括复述、回应、追问和挑战。
2. 采用实践、反思、再实践的方式进行观课活动，教师轮流施教，并於观课时记录观课过程及意见，作为课後反思的依据。
l 第一轮观课
课题：分数的认识 (四年级)
目的：强化教师对Bloom’s Taxonomy的六个认知层次及Resnick的提问技巧的掌握，并探讨个人教学风格对课堂互动的影响。
方式：将课堂片段辑录成文字，让教师分析及检讨课堂互动的实际情况，尝试把课堂中提出的问题按层次及所采用的提问技巧进行分类，然後检讨及提出改善策略。
l 第二轮观课
课题：面积(一) (四年级)
目的：编拟各类问题、改善候答时间、提升学生的思考及传意能力
方式：就课题学习目标、学习重点及难点编拟基本问题，并於课堂中实践以下策略：
- 提问後给予学生约5秒的思考时间；
- 善用「思考 – 讨论 – 交流」的小组讨论策略，以提升学生的思考及传意能力。
l 第三轮观课
课题：异分母分数加法 (五年级)
目的：照顾学习差异
方式：针对不同能力的学生，采用不同层次的问题。
l 第四轮及第五轮观课
课题：面积(二) (五年级)
目的：跟进及巩固课堂有效提问的教学策略
方式：继续采用先前的策略，观察课堂上的实践情况，进行检讨及改善。
总结经验
有效提问包含两个层面的含义：一是有效的问题；二是有效的提问策略。要充分体现课堂提问的有效性，教师除要掌握前文所述的能力外，在实践时还需注意以下两点：
1. 掌握教材
备课时需掌握教材的系统性、重点和难点。这样才能紧紧围绕教学目的、教学的重点和难点设计相应问题。只有理解教材，我们才能分清哪些问题是基础性的问题，可以用「什麽是」、「怎麽样」来提问；哪些是高层次的问题，可以用「你是怎麽想的」、「你怎麽证明」来提问；哪些是探究性的问题，有必要让学生讨论、探究。
2. 掌握学生
教师必须了解自己所教学生的基础知识、接受能力、思维习惯，以及学习中的困难和问题等。只有真正了解学生，才能针对性地提问，恰当地把握问题的难易度，做到因材施教，使课堂提问更加有效。
参考资料：
1. 张玉成 (1999)。《教师发问技巧》。台北市：心理出版社。
2. 香港教育局质素保证分部 (2009)。《视学周年报告(2007 – 08)》。香港：政府印务局。
3. Bloom, B.S. (ed) (1956), Taxonomy of educational objectives: handbook 1 cognitive domain. NYC: David Mckay Company.
4. Bremer, N.H. (1967). Guiding learning through skillful questioning, Elementary School Journal, 67, 417-422.
5. Brozeck, A. W. (1974). The effects of an in-service training program on questioning techniques of selected elementary teachers. Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh.
6. Claus, K.E. (1969). Effects of modeling and feedback treatments on the development of teachers’ questioning skills, Technical Report No. 6. Stanford University, Ed 033-081.
7. Ladd, G.T., and Anderson, H.O. (1970). Determining the level of inquiry in teacher’s question. Journal of Research on Science Teaching, 7, 395-400.
(注：参与老师需具备操作Rasch Model软件的基本知识)
陈子阳先生 (高级学校发展主任)
陈素雯老师 (慈幼叶汉千禧小学)
卢广轩老师 (慈幼叶汉千禧小学)
小班教学为老师和学生创设了一个较佳的学习环境，在这环境下，课室的教学空间得到扩大，随著学生人数减少，老师与学生的互动机会亦增加了；然而，在不断提升师生互动和优化教学设计之余，评估亦是学生学习过程中，不可缺少的重要一环。剑桥大学学者Galton指出评估是小班教学评估的一个重要范畴，评估的目标应是为老师提供个别学生学习情况的资讯，从而帮助老师因材施教，照顾个别差异；因此，进展性评估(formative assessment)在小班教学的评估中所肩负的角色著实非常重要。
有效的进展性评估可以为老师提供可靠的数据，促进他们对学生的学习情况的了解；本学年，慈幼叶汉千禧小学的数学科老师们著意在校内发展进展性评估，老师透过提升拟题和分析数据的能力，增进对了解个别学生学习情况的掌握，认清学生的学习难点，包括学生对数学概念掌握程度、计算能力、运用数学概念去解难的能力和运用数学语言表达意念的能力等。老师透过分析学生进展性评估表现的数据，为他们拟定合适的拔尖补底跟进工作，从而使跟进工作更加对应学生的学习需要。
在上述的发展过程中，老师们经常讨论和探讨进展性评估的效度，因此，我们引入教育测量工具Rasch Model，对老师拟定的评估卷进行分析。由於Rasch Model能帮助老师把学生题目的答案与学习目标连系和作出比对，透过阅读有关的报表，老师什至能了解学生在个别学习目标的表现。报表中资讯能反映学生在评估卷中的表现与老师期望的差异，为老师检讨考卷题目的难度提供客观的分析数据。此外，这些报表亦能显示个别班别内学生的学习差异，从而可帮助老师为个别学生进行拔尖补底工作时，找到合适的切入点；老师亦可参考报表内所提供的题目难度数值，改善评估卷内题目的分布情况以及优化进展性评估所考核的内容。总括而言，Rasch Model可以让老师加深对数学科课程和学生学习过程的了解，亦可促进老师对教学设计有更深入的讨论。
在发展进展性评估回馈的道路上，老师在共同备课会经常问自己：「我们的工作能否为学生带来学习上的改变？『学习中的评估』(assessment of learning)的效用又怎样呢？」因此，小班教学的评估，除了要做到能够帮助老师了解个别学生的学习情况外，亦要做到让老师知道学生与上学年学生比较，本学年的学生与上学年学生在学习表现上有什麽异同。如老师希望了解个别学生的学习水平，老师可透过Rasch Model的「等化」(equating)工作，把学生在进展性评估的数据与校内一些总结性评估的某些相关的题目连系，再透过Rasch Model的分析软件，比对本学年的学生与上学年学生在学习表现，计量本学年学生在有关学习目标中的表现，从而找到他们的实际水平，老师因而可从这些客观的分析，诱发自己对课堂教学的反思。
对数学科老师而言，进展性评估提供的数据是重要的资讯，然而，受制於老师繁重的工作，纵然能设计一份有效的进展性评估，批改和输入学生的表现数据倒是一项相当耗时的工作。随著资讯科技的进步，我们可利用资讯科技，批改和输入学生的「题项反应」(item response) 工作已可由影印机代劳，配合适当的电脑软件，什至可以整合、分析数据和制作报表。同时，在这过程中，我们亦在资讯再表达的方式作出考量，找出最能帮助老师解读数据的方法，从而将撷取学生的表现数据过程简化。
在是次分享会的上半部份，慈幼叶汉千禧小学的老师会和与会者以工作坊的形式，透过检视不同的进展性评估卷，并思考改善这些进展性评估卷的方法；在下半部份，他们会分享在小班的情景中，怎样有效地运用电脑软件配合Rasch Model去整合、分析和解读学生的表现数据，以及在优化进展性评估卷的过程中，老师曾作出的讨论和反思。
参考资料:
1. M. Galton & T. Bell (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong Final Report. Education Bureau, Hong Kong.
2. Rasch,G (1960). Probabilistic models for some intelligence and attainment test. Copenhagen: Danmarks Padagogiske Instit.
周伟志先生 (高级学校发展主任)
文美玉老师 (香海正觉莲社佛教正慧小学)
廖文慧老师 (香海正觉莲社佛教正慧小学)
黄文志老师 (香海正觉莲社佛教正慧小学)
廖小玲老师 (香海正觉莲社佛教正慧小学)
小二基本乘法的学习问题
在一次二年级数学科的备课会中，香海正觉莲社佛教正慧小学的老师讨论到学生在学习基本乘法中的问题，以下是他们的一些对话：
「每年教到乘法这课题时，都替学生感到辛苦，尤其在记乘数表方面，相信他们会感受到不少压力。话虽如此，其实记乘数表又没有什麽概念可言，始终死记硬背是必要的，唯有多些鼓励他们吧。」
「不单记乘数表，学生在建立乘的概念时也有困难，书本已用了很多方式让学生明白当中意义，例如连加及倍，又配合了一些图画作解释，真不明白学生为何仍老是混淆乘数和被乘数的意义。」
「我们设计了多样化的学习活动让学生从中建立概念，例如实物操作及画图等，但学生的概念并不稳固，解答应用题的表现也不理想。」
「我也会期望提升学生的学习层次，好像数学语言的培养，但奈何学生连基本的概念也不稳固，那又如何提升他们呢？」
从老师的对话中，我感受到老师对学生学习的关注，但我同时感受到他们有很多忧虑，他们忧虑到学生记乘数表时的困难会影响到学习兴趣，他们对学生概念不清的问题感到无可奈何，他们也没有信心提升学生运用数学语言解释概念的能力。老师关注到学生在态度、知识和能力方面的发展，事实上他们在教学中也有顾及学生这几方面的学习需要，但由於学生的表现与自己的期望有所距离，又苦无新的点子突破这些教学难点，便感到有点困惑。
听了老师的意见後，我心中产生了一些疑问。首先，背乘数表真的和概念没有关系吗？背乘数表可以背得轻松点吗？此外，老师了解到若要学生建立清晰的数学概念，需让学生以不同方式探究及表达，包括实物、图像、符号及情景，但为何学生的概念仍不稳固呢？当中是否缺乏了什麽元素呢？另外，数学语言的培养是较高层次的提升吗？学生需建立到清晰的数学概念，然後才学习数学语言吗？数学概念与数学语言之间有什麽关系呢？相信老师心中也有很多疑问，我们便在共同备课中一起讨论，我们的讨论围绕著以下重点：
1. 为什麽学生背乘数表时会感到吃力呢？
2. 为什麽学生未能从不同的表达方式中理解及掌握乘的意义呢？
3. 如何培养学生运用数学语言的能力呢？
老师虽在讨论时很仔细地忆述学生在不同学习活动中的表现，但就少有提及不同活动之间的关连，也少有分析学生在不同活动中表现之间的关系，我们想这些「关连」与「关系」的确是以往所忽略的，这或许可成为重新检视自己教学的一个亮点。
文献如何回应教学问题
在一些文献中，我们或可对学习活动的「关连」与「关系」找到一点启示。Skemp （1976）提到理解可分为「机械式理解」(instrumental understanding)及「因果式理解」(relational understanding)。在「机械式理解」中，学习只著重法则而忽略理念，因此十分强调背诵，背诵时亦会把不同知识分割，不重视知识间的连系及整全性，学生只安於有限范围下的学习。在这情况下，记忆是短暂的，学习效果有限，这样并不利於深入的理解。就像学生背乘数表时，只机械式地背诵，他们往往要不断重复温习，却又容易忘记。在「因果式理解」中，学生会从思考中找寻不同学习经验的连贯性，从而为自己建构一整全的图画，这样的学习会更有意义，记忆亦会较持久，并能促进深入的理解（Tall, 1978），因此，正慧小学的老师认为如要加强学生记乘数表的记忆，必先要让他们连结乘数表与乘的意义，也要让他们了解不同数的乘法之间的关系，例如2的乘法和4的乘法之关系。
此外，Hiebert and Lefevre （1986）阐述了「概念性知识」（conceptual knowledge）的一些特性，「概念性知识」是充满关联性的，就像一个连结著不同资讯的网络，在建构过程中要不断为不同的资讯建立及创造关系。由此可知，让学生连结不同经验、知识及资讯对於概念的理解是十分重要的。正慧小学的老师提及曾让学生以不同方式探究及表达概念，包括实物、图像、符号及情景，但他们认为如要学生建立概念性知识，必要让学生连结这些不同的学习经历，为那些不同探究及表达方式创造关系，使学生能建立一个概念的网络，而不是视那些为个别的学习活动。
如何连结这些学习经历呢？ Lesh（1979）提到除了要让学生以不同方式进行探究及表达外，学生也要转化（translate）那些不同的表达方式，即要连结实物、图像、符号及情景之间的关系。Hiebert & Carpenter（1992）亦提及要连结不同的表达方式（connecting representations），学生可从连结同一或相关数学概念的不同表达方式中建构概念，连结时通常会比较不同方式的相同及相异之处，亦会加强不同表达方式的连系性，概念理解的深浅则取决於这些连结的紧密程度。在乘法中，正慧小学的老师想到如何协助学生进行这些连结呢？除了关注不同表达方式的过渡、关连与比较外，他们认为运用语言解释当中的关系也是值得考虑的策略。Bishop（1988）提到在数学课堂中运用语言的重要，他强调学生可从分享、讨论及解释中强化对数学概念的理解与掌握，而当中运用语言作有逻辑的连系至为重要。
从教学实践中探究问题
在审视不同教科书时，我们留意到不同教科书在编排2至10的乘法时是有不同的先後次序的，例如：
2至10顺序
2、5、10、3、4、乘法交换性质、6、9、7、8
2、5、10、4、8、乘法交换性质、3、6、7、9
2、5、10、3、4、6、8、7、9、乘法交换性质
这些编排背後的理念包括数的顺序、深浅程度（例如先学2、5、10，後学7、9）、以乘法交换性质推算较大数的积，以及不同数的关联性（例如：5和10、4和8、3和6都是倍数关系）。老师认为以数的关联性排列较能让学生建立数与数的关系，对概念的建立较为有利，学生也可较轻松地记乘数表，故排列时先以2、5、10为一组，接著是4、8，然後是3、6、9，最後才是7，而乘法交换性质则在不同组数中均会介绍，从而让学生理解同组数的乘数表之关系（例如在4和8一组中，4 × 8 = 8 × 4）。
在记诵乘数表方面，老师用了一些策略来加强学生学习时的连系性。（一）老师让学生自行制作乘数表，学生从连结数数粒、图像记录及算式记录等学习经验中制作自己的乘数表，故在记诵时能结合这些建立概念的不同经验。（二）学生建立及记诵乘数表时，依照上一段提及强调不同组数的关联性作次序。（三）老师让学生观察及与学生讨论同组的二至三个数的乘数表之间有什麽关系。（四）学生每次只记诵二或三个数的乘数表，让学生在记诵时同时发现那二或三个数的乘数表之关系，这有别於老师以往要求学生累积性地记诵，在累积到多个数後学生会感到十分吃力。
在解答应用题方面，老师让学生结合概念理解与解难策略。过程中，学生需时常判断不同题型，从对比不同题型的异同中，分辨它们有什麽关键特徵，亦同时发现它们的共通特性，从而加强概念的理解，当中尤其需分辨被乘数和乘数的分别及关系。为了加深学生的理解，老师让学生以不同方式表达题意，例如以图像表达不同题型的意义，并从不同图像的共通点中找出各题型在乘法中的相关之处，也要求学生连系图像、算式及文字情景所表达的意义，从而深入理解当中的概念。此外，老师亦尝试让学生进一步贯通不同的表达方式，让学生对比容易混淆被乘数与乘数的乘式，学生需透过图像表达及自拟情景进行分辨及连系。
老师也尝试以另一角度看数学语言问题，除了视数学语言为一提升的能力之外，老师同时认为数学语言可作为不同表达方式之间的沟通媒介，学生可运用数学语言解释图像、算式和文字情景之间的关系。因此，在整个学习过程中，学生有很多机会透过语言进行解释，例如：以图像解释情景、以算式解释图像或以算式解释情景。我们想这样较能结合概念理解与数学语言的发展，连结学生不同的学习经历。
老师总结此课题的教学成效，对比以往的学生，本届的学生在记乘数表时表现得较轻松、有兴趣及有效，他们解答应用题的能力有所提升，并能分辨题目中被乘数与乘数的关系，而且普遍学生能运用数学语言解释不同的情景，表现对课题内容有深入的理解与掌握。老师期望透过这次研讨会和大家分享他们探讨这课题时的经历及所思所想，包括他们如何从分析学生难点到设计教学的经历，老师会以课堂片段及学生习作阐释学生在学习过程中的表现及转变，从而回应对此主题的看法，并希望与会老师有所交流。
参考资料：
1. Bishop (1988). Mathematical enculturation. A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
2. Hiebert, J. & Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In Grouws D.A. (ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning, NCTM, Macmillan, Inc., New York.
3. Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.) Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, pp1-27. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
4. Lesh, R. (1979). Mathematical learning disabilities: Considerations for identification, diagnosis, and remediation- In R. Lesh, 13. Mierkiewicz, & M. G. Kantowski (Eds.), Applied mathematical problem solving (pp, 111 - 180). Columbus, OH: ERIC/SMEAC. [Science, Mathematics, and Education Information Analysis Center].
5. Skemp R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77. 20-26.
6. Tall, D. (1978). The dynamics of understanding mathematics. Mathematics Teaching, 84, 50-52.
曾伦尊女士(高级学校发展主任)
陈嘉茹老师 (天主教柏德学校)
梁咏诗老师 (天主教柏德学校)
萧艳芳老师 (天主教柏德学校)
叶妙儿老师 (天主教柏德学校)
在香港的小学数学课程中，根据《数学课程指引》，时间是度量范畴中的一大课题，在一年级至三年级的学习重点中，时间共占了度量范畴约30%的建议教节，可见时间概念的学习是数学学习领域中极为重要的一环。然而时间是个抽象的名词，包含两种不同观念 : 一为时距，一为时刻，他们以相似的单位表示，但代表的却是两种观念，分别并不明显。对於第一学习阶段的学生，他们对於三时的概念只能停留於时刻的概念，即现在是下午三时 ; 他们较难理解三小时作为时距的概念，学生对时间的量感非常薄弱，因为他们实在难以理解原来时间一直都在流逝。时间的学习也会影响其他相关课题的学习，例如时间和速率概念有着密切的关联性，当学生具备基本的时间概念後，才能进一步学习有关速率运算问题，因此要学好时间十分重要，然而时间涉及时距概念，抽象难明，不同年级的学生在学习时距时，都会遇到不同程度的困难。天主教柏德学校老师去年课硏观课，以时间为题，深入反思课程设计及学生智性发展的关系，重新整理设计纵向课程，并进行硏课及优化。
在进行时间教学时，除了须注意学生过去学习经历及日常生活经验，以及对时间概念建立之影响外，课程的编排次序与学童身心的发展也须紧密配合。学者对时间概念的研究中，Piaget（1969）认为时间概念会在个体的发展过程中，随着认知结构的不断重组而逐渐建构而成的。他将儿童对时间概念的发展分为序列期、超序列期及精确衡量期 :
(一) 序列期 ── (约七岁和八岁的儿童)
l 能了解两事件的先後，并将每日例行事件与惯用时间做结合。
l 有次序感，开始能协调连续与持续的时间概念，且能报读整点时刻。
l 能排列一件事内之细则的先後，开始理解60分等於1小时，能报读整点或半点的时刻。
(二) 超序列期 ── (约九岁和十岁的儿童)
l 能考虑事件经过的时间，并能利用时来测量及描述时间量，能利用惯用时间来测量时间的间距。
l 能比较时距及考虑所经过的时间量。
(三) 精确衡量期 --- (约十一岁和十二岁的儿童)
l 可以理解任意期间的单位，但不能解释原因，具备初步周期概念。
l 能追溯及预测时间，明瞭速度，能使用秒来描述时间量，具备完整顺序与周期概念。
天主教柏德学校老师参考学童对时间观念发展的程序後，尝试从时刻概念、时间单位量概念、时间顺序概念、时间周期概念、时间等量关系概念、时间化聚概念等方面有系统地设计时间的纵向课程，运用实物操作、绘图等协助学生连贯不同阶段时间概念的学习，解构各级难点，让学生充分理解相关的概念。在一年级的课程，由於学生首次接触时间概念，然而学生在学习之前已有很多非正式的知识及已有知识影响课堂上的学习效果 (Davis et al., 1990)，让他们掌握时间的基本概念(如三时的时刻概念与三小时的时距概念)非常重要，因为这些知识就是日後所有时间课题的基础。Thornton 和 Vukelich（1988）的研究发现，儿童认识时钟时间的发展是从大单位到小单位，因此在一年级关於时间概念教学的重点亦只在认识钟面上的长、短针，并报读时钟上常用的整点或半点的大单位报时，然而在认识接近「时」和「半时」的时间，学生需要利用「差一些几时」、「几时多些」和「大约几时」来表示时间，此外学生还要正确地绘画出以上提及的时间，对於次序感不强的小一学生，又刚开始接受连续的时间概念，实在感到非常混淆。老师在教学过程中遇到很多的问题，然而经深入讨论後，老师均认同操作联动钟及不联动钟活动的难度，但仍希望同学可从拨动联动钟的过程中，感受长、短针走动的相互关系，并发现短针在「半时」的位置是在一格的中间，再用不联动钟测试学生绘图表达时间的准确性。老师发现学生对於时间的理解，就像对其他量概念的理解一样，从知觉经验开始逐渐抽象化与客观化，故此需要主动建构而不是被灌输，故老师的教学设计主要是为协助学生由认知性的时间经验，转换为客观的时间概念为依归。
二年级学生需要认识「分」，并能利用「时」和「分」报读时钟面上小刻度位置所对应的时间，进行几点几分的报读，再以「小时」和「分」为单位，量度活动所用的时间。老师在此阶段的教学上往往因为缺少培养学生「时间量感」的教学步骤，而使学生对时间的认知有困难。Friedman（1990）的研究发现，学生在五岁以後对於生活事件的时间估测，才有明显的区别，为此老师特别设计活动让学生由估测实际生活的事件作为连结，体验时针的实际转动，慢慢协助学生建构时间量感的观念，目的是要让学生实际地从做中学。此外，二年级的教学难点主要还有以下部分:
1. 利用钟面上小刻度位置所对应的几分时刻，进行几点几分的报读，再由「五个一数」，知道钟面上的数字所对应的几分时刻，进行钟面时刻报读，并能正确地画出时刻；
2. 能利用活动的起始时间及终结时间正确地找出活动所用的时间；
3. 小时和分钟的化聚。
去年老师在课研时发现同学在找出活动所用的时间感到特别困难，他们往往会因为不同的原因而不知所措，就如有同学不能将起始时间准确地在钟面显示，部分同学则不知如何顺向地拨动联动钟并数出时间量，有些同学则会混淆数一小时後是把分针指向十二，便过了一小时，经老师反思整个教学流程後，他们均认同学生必须熟悉联动钟的操作，能运用联动钟正确显示几时几分，然後特别要求同学能顺向地从不同难度的起始时间，如整点、半点、十五分、四十五分或其他如十七分、三十七分等，数出经过某时段，当中时段的选取亦由浅入深。首先数一小时後、半小时後，再到十五分、四十五分或其他如十八分、四十七分钟等，再读出完结的时间，整个学习过程务求让同学清楚理解时针的走向，促使学生对找出时距的概念更有把握。观课所见，老师在开始活动时必须首先要求每位同学拨对起始时间，再共同拨动指定时段，找出准确的终结时间。经过几番练习後，同学才能掌握，并发现当中的规律。当整个过程熟习後，老师才提出度量时距的活动，此时则让同学各自思考，运用不同的方法找出正确的时距。除此以外，老师还要求同学找出跨过上、下午的活动时距，同学都能成功地用自己的方法找出正确的时距，并懂得加以解释，可见活动的成效。
三年级上学期，重点虽然在认识「秒」、 以「时」、「分」和「秒」报时、
以「秒」(s) 为单位，量度活动所用的时间及以「小时」和「分」、「分」和「秒」报告活动所用的时间。然而，由於去年课研观课发现同学对时距的计算同样感到困难，尤其当时距牵涉跨过上、下午的时间，故今年除延续二年级所学，同样以联动钟及不联动的钟面显示时间，协助同学绘画时间，还重温上、下午时间的表示方法，并刻意引导学生将上、下午时间正确地在一天的时间线上标示出来，引导学生运用时间尺显示起始与终结时间，以解决跨过上、下午活动时距的难题。观课所见，三年级同学明显地对时间的观念较强，能准确地画出不同难度的时间，亦能掌握秒的量感，自行设计估测一秒的动作，只是当牵渉到表示深夜一时，同学往往会写成下午一时，似乎并不能接受此时应为上午，于是老师运用时间尺协助同学理解，同学便欣然接受，至後期引导学生将上、下午时间正确地在一天的时间线上标示出来，同学都能轻易地运用时间线找出时距。
老师就一至三年级各时间课题的不同难点作了深入的探讨，几年的共同备课中，在时间教学尝试采用了实物操作、绘图法来贯通各级学习活动的设计，经过多次研课、观课及不断反思改良，累积了一些设计活动的经验，希望透过分享会与其他老师交流，在教学上运用实物操作、画图协助学生建构时距概念，及让学生透过探究活动建构时距概念及解答难题。
参考资料:
1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：香港印务局。
2. Davis, G., & Pitkethly, A. (1990). Cognitive Aspect of Sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 145-153.
3. Friedman, W. J. (1990). Children's Representations of the Pattern of Daily Activites. Child Development, 61, 1399-1412.
4. Piaget, J. (1969). The child’s conception of time. (A. J. Pomerans, trans.) London: Routledge & Kegan Paul.
5. Thornton, S. J.,& Vukelich, R.(1988). Effects of Children’s Undering of Time Concept on Historical Understanding. Theory and Research in Social Education, 16(1) , 69-82.
吴沛荣先生 (高级学校发展主任)
赖百诚老师 (中华基督教会基湾小学)
胡小伟老师 (中华基督教会基湾小学)
刘嘉丽老师 (中华基督教会基湾小学)
李蕙云老师 (中华基督教会基湾小学)
在六年级的数学备课会中，老师发现学生在学习百分数这个课题时，往往会因为先前弄不清小数、分数和百分数的相互关系，导致他们学习百分数，以至在运算及解决应用题时，遇到了不少困难，加上学生在日常生活中亦较少接触百分数，致使学生在解决有关应用题上更感吃力。
怎样令学生学好百分数
小数和分数是代表相同意义的两种不同符号，当学生对分数和小数的概念连结起来，才可以学习百分数。因此，小六学生在学习百分数这个课题时，必须先学习百分数和分数的互化、百分数和小数的互化，从中认识小数、分数和百分数的相互关系，最後再学习百分数的应用。由於当中所牵涉的运算步骤较为复杂，教学过程中，必须重视学生如何完成有关的运算步骤及解决应用题的策略。
根据学校过往的经验，学生在应付常规问题上，都有不错的表现，但当面对一些开放性的问题时，则表现一般。除此之外，老师发现学生在处理应用题时，学生只会采用一些既定的方法来解决，例如在分数比较的课题上，学生大多会采用通分母或把分数化成小数的方法来进行异分母分数的大小比较，较少学生会以1/2或1当中介值进行比较。这主要是由於学生在日常的学习中，过分依赖通分和分数化小数的策略来解题，反而失去解决问题的灵活性。此外，学生对分数和小数缺乏正确的量感，除了影响估算能力不足外，亦会影响学生判断计算答案的合理性，所以在小数，分数及百分数进行大小比较的问题上，表现比较参差。
学生若惯於循着一些既定的策略来解题，便难以培养学生解决问题的能力。故此，中华基督教会基湾小学的老师加强了估算的教学来帮助学生建立分数、小数和百分数的量感，再加上增强课堂的互动，鼓励学生从不同角度审视和解决问题，从而使学生对分数、小数和百分数的关系有较深入的理解。
老师从学生的解题和表述过程中，亦考虑到学生不同层次的思维，因而对百分数的教学重新调整，于是便把上述的教学工作从三方面著手：教材和教学的调适、促进数学课堂对话和加强学生对百分数应用题的理解，同时透过观课、课堂录影和学生习作的分析及测考的表现来检视教学的果效。
教材和教学的调适
老师根据学生过往在学习小数、分数和百分数的相互关系上所出现的问题，设计了不同的课堂活动和课业，借着课堂评估和观察来检视学生的学习过程，从而在教学上作出相应的调适，以配合学生学习上的需要。
由於中华基督教会基湾小学的老师早在学生就读小四时，便开始以多元化的学习方法，帮助学生建构小数的数学概念，协助学生在这些概念与概念之间形成一些内部的网络(Hiebert & Carpenter，1992)，加强了学生对小数的理解，所以学生在处理分数与小数互化的运算，都应付自如。即使後来的百分数与小数和分数的互化的运算和解决一些基本应用题上，也难不了学生。为了进一步加强学生解决应用题的能力，于是老师便在课业设计上，加强估算内容，让学生进行小组讨论，增进学生对分数、小数及百分数的适应性和量感。由於老师不断鼓励学生在小组讨论和汇报中，互相讨论问题及聆听别人的讲解，使他们对百分数的认识更加深刻，而老师透过学生的课堂对话，发现学生思考更加活跃，促使学生使用不同的方法解决问题。
促进课堂对话
学生透过互相讨论，从不同角度理解和分析问题，共同商讨解决问题的方法，加强了学生对数学概念的理解(Catherine C. Stein, 2007)，而Hufferd-Ackles, Fusion,and Sherin (2004)把数学课堂的讨论分成四个级别(由级别0至级别3)，级别0是指课堂教学由老师主导，学生较少机会在课堂上进行进行讨论，教学方法比较传统，而级别3则大不相同，学习是由学生的思维出发，老师在课堂上的工作主要是促进课堂的讨论，鼓励学生进行讨论及聆听别人的讲解，让学生主动探究及发现有关的数学知识及解决问题的方法，这样的学习模式有助於学生更加理解数学概念，有利於学生将来的数学学习。
为了促进学生的课堂对话，老师参考了级别2和级别3对教学的要求，在教学上作出调整，亦设计了不同形式的问题，鼓励学生使用不同的方法解决问题。
学生分成四人一组，就着老师所提出的问题进行讨论，商讨不同的解决策略，老师在巡视课堂期间，观察学生的学习过程，并且就着学生的对话进行回馈，协助学生从不同角度思考问题。学生在汇报的过程中，老师为了促进班中的对话，暂且保留个人意见，以免影响学生的想法，而学生在课堂讨论中，更有兴趣探讨解决问题的策略。正如在「比较小数、分数和百分数大小」的课堂上，学生在小组汇报的过程中，其他组别的组员也主动参与讨论及回应，而老师对於学生的积极表现也感到意外。
加强学生对百分数应用题的理解
用分数、百分数解决问题历来是小学数学教学的难点，原因是百分数本身是为了方便比较才应运而生，而小学生在日常生活中根本很少接触及应用，令他们在理解有关百分数的问题上产生困难，以下列的应用题为例:
「一枝牙膏原价25元，减价後的售价是20元，求原价比售价多百分之几？求售价比原价少百分之几？」
学生在日常的生活中，只会关注减价了多少，而不会理会原价比售价多百分之几或售价比原价少百分之几，加上学生什至弄不清哪个是比较量，哪个才是标准量，在计算百分数时，根本不晓得是以原价作分母，还是以要售价作分母。如果只是要求学生死记硬背计算的方法，不但无助於学生理解问题，亦不利於学生培养良好学习习惯。
在处理这个问题上，老师过往的做法是在句中加入补充成份，使之成为完整句子以便理解，所以老师注重教学生怎样补，而较少讨论为什麽要这样补，令学生往往知其然，而不知其所以然，不利於学生真正理解问题的内涵。现在，老师为了使学生明白这些比较式句子的含义，创设了不同的情境，使学生利用已学的“百分数的意义”的基本概念，通过问题中数量之间的比较，突出「多（少）百分之几」问题的结构特徵（即指哪两部分相比及如何相比），借以表述出如何运用百分数来比较数量之间的关系。而在课堂活动的配合上，老师更让学生进行小组讨论、自拟应用题及解决开放式问题，加深他们认识和理解有关百分数应用题的句子，从而感知百分数作为比较用途的必要性。正如老师让学生透过比较货品不同的价钱，引导学生如何比较货品价钱之间的差距，使学生能自由地表达意见，体验问题表述的合理性，从而加强理解这些数量与百分数之间的关系。
老师在处理这次百分数的教学经验中，体会到教学时必须将一些独立而片面的数学知识结合起来，才能加强学生理解和解决问题的能力（Mansilla & Gardner, 1998）。正如老师要帮助学生建立对於小数、分数和百分数的一个紧密而深层的概念网络知识，学生才能应付日後的应用题目的需要，而老师透过加强学生数学课堂上的对话，将有助培养他们的数学思考，令思维更加灵活。
老师从观察学生的课堂表现、习作和测考的分析中，发觉今年六年级学生在学习百分数的应用题上，没有以往同级学生那么多问题，而过往常犯错的题目，亦相应地较少，而学生所提出的问题和处理问题的方法，亦促使老师对数学教学作出更多的反思。因此，老师期望能够通过这次研讨会，与与会者分享他们对这次教学的百分百感受。
参考资料:
1. Catherine C. Stein (2007). Let’s Talk: Promoting Mathematical Discourse in the Classroom. Mathematics Teacher, 101(4), 285-289.
2. Hiebert, J. & Carpenter, T. P. (1992).Learning and Teaching with Understanding. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.65-97). New York: Macmillan.
3. Hufferd-Ackles,K., K. Fusion, and M. Sherin (2004). Describing Levels and Components of a Math-Talk Learning Community. Journal for Research in Mathematics Education 35, 81-116.
4. Mansilla V. & Gardner H (1998). What are the Qualities of Understanding? In Wiske, MS (Ed), Teaching for Understanding: Linking Research with Practice. San Francisco: Jossey Bass.
周凌俊韶女士 (高级学校发展主任)
郭慧仪老师 (光明英来学校)
樊伟基老师 (光明英来学校)
卢志伟老师 (光明英来学校)
视学所见有关「时间」学与教的现象
过去数年在质素保证分部视学组工作，进行了不少数学科重点视学，观课已成为惯常的工作之一。多年来与视学组同侪的分享和交流，大家认为教师在教授「数」范畴的表现较佳，但在「度量」范畴的表现须关注的点子相对较多。
以小二「时间」这课题为例，观课所见，教师除讲解外，普遍也能透过拨钟面活动，让学生认识钟面所显示的时间。不过，不少教师往往因为教时所限，以致在详细讲解後未及推行活动，又或因学生进行拨动及绘画钟面等活动需时，影响教师原定的教学进度，未能总结及巩固学生在活动中所学。学生学习方面，学生多能在教师指导下，按指示拨出正确的钟面，并读出正确的时间；但部分学生在画钟面时却出现困难：有些徒手随意画出时针和分针，有些用了直尺画出长短相若的两支针，不少在画如「六时半」的钟面时，时针的位置往往指向「6」，与「六时」的画法完全相同，更多学生未能掌握如何计算活动所需的时间。个别课堂上，教师派发给学生使用的并非联动时钟，试问二年级的学生怎能分别把时针和分针拨向正确的位置？因学生所拨的钟面有所误差，直接影响他们阅读钟面和画钟面的准确性。
学生在「全港性系统评估」中的表现
根据近年《全港性系统评估学生基本能力报告》(以下简称「报告」)，对学生在第一学习阶段数学科「度量」范畴的表现，作了以下评论：
上表摘录了学生在「时间的认识」的表现。报告的评论，正好与视学所见的情况互相吻合。
学生在小二「时间」单位上的学习困难
根据《数学课程指引(小一至小六)》，二年级上学期所学习的单位「时间(二)」较之一年级下学期的「时间(一)」，除学习内容增多了不少外，涉及的概念也较为复杂，如要利用「时」和「分」报时，而最多学生感到困难的便是利用「小时」和「分」报告活动所用的时间。
有别於长度、重量和容量等其他「度量」范畴的课题，「时间」课题的内容重点以生活应用为主，并非由直接比较，走向自订单位，到最後介绍公认单位，那如出一辙的铺排。学生除了要记年、月、日、星期、时、分、秒不同的时间单位，以及相应的换算公式外，又要把文字或跳字钟报时，转化为指针钟面报时，对指针走动的正比例规律须有一定的理解。以上种种，对初小学生来说，无疑是沉重的负担(冯振业，2010)。
学校的实践经验
跟光明英来学校的五位二年级数学教师进行共同备课时，他们指出学生在最初接触钟面时，多只留意到钟面上的两针和印有12个数，往往忽略了钟面上的刻度。既然学生对印有刻度的圆形钟面较难掌握，因此教师便特意「解构」钟面。他们利用透明胶水管，仿照钟面在胶水管画上刻度，然後围成如钟面外圈，俨如时钟似的；教师再把胶水管拉直，就成学生所熟悉的数线。透过数线设计，让学生明白钟面上的刻度其实也是一条围成圆形的数线，有助他们掌握阅读钟面的技巧。经过观课和反思後，我们在教学策略上作了修订：由过往教师作展示改为由学生亲身操作。学生先在获派发的工作纸上，回答了一些有关钟面的基本问题，然後在每五小格为一大格的数线上，分别写上有大格和小格的数目，再以这数线围成钟面外圈，加上时针和分针便自行制作了时钟。透过上述活动，学生更清楚掌握钟面上刻度的意义，立刻针走了1大格代表1小时，而分针走1大格代表5分钟，这对他们日後的学习建立了一个稳固的基础。
部分学生在画时针和分针时，忽略了时针相对分针的正确位置，主要是他们对指针走动的规律不理解。针对这问题，同时考虑到小二学生的智能发展，我们决定以「观察-记录-讨论」的形式，为学生安排学习活动：学生先观察如2:00、2:30、2:15、2:45等不同时间时针和分针的位置，然後记录各个时间两针的位置，再由教师带领学生讨论，让学生发现随著分针的走动，时针相对分针的正确位置。从观课所见，不少学生在完成上述活动後，已能掌握相关技巧，但仍有小部分学生的表现未如理想，需在三年级学习「秒」这课题时，再加以巩固。
最多学生感到困难的内容，即利用「小时」和「分」报告活动所用的时间，主要是他们在日常生活中什少报读时间，更何况利用「小时」和「分」量度活动的时间！在处理这难点时，我们决议除利用拨动钟面，教导学生一边将时钟由活动开始时间拨至结束时间，一边以数数方式量度出活动所用的时间外，还以线段图作为辅助工具：在标示活动开始时间和结束时间後，学生运用时间线便得知时距，从而找出活动所用的时间了。萧毓秀、锺静(2002)的研究中指出，由於许多学生不清楚时间是连续不断的，或无法区分时刻的先後，因此建议教师可尝试运用线段图来展现时间的连续性，透过标示不同时刻的位置，让学生了解时刻和时距的关系，以建构完整的时间概念。
累积了多年的视学经验，观看过不少有关「时间」单元的教学片段，在与光明英来学校的教师进行共同备课时，除分享视学所见的现象，对教师教学作一些提醒外，也跟教师共同分析学生的学习难点，一同探讨相应的教学策略，并透过观课、反思和修订，优化教学设计。希望借此机会，跟大家分享在「时间」这课题的教学上，透过实物操作和运用线段图，让学生建构时刻、时距等抽象概念，并解答相关应用题。
参考资料：
1. 香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
2. 香港考试及评核局(2007)。《2007年全港性系统评估学生基本能力报告》。香港：香港考试及评核局。
3. 香港考试及评核局(2010)。《2010年全港性系统评估学生基本能力报告》。香港：香港考试及评核局。
4. 冯振业(2010)。时间教学的疑难和困扰。《数学教育》29期，2-9。
5. 萧毓秀、锺静(2002)。《国小学生时间文字题的解题研究》。检索日期2010年12月23日，网址 http://203.71.239.20/mediafile/editor_file/217/02.pdf
