以行求知 - 学与教‧思与情 - 前言 -数学
数学学习领域
「除」机应变 ── 调适除法教学策略，提升学生探究能力
罗汉辉先生 (高级学校发展主任)
李明佳老师、彭奋强老师、张淑仪老师 (农圃道官立小学)
根据课程发展议会所制定数学教育学习领域课程指引(2002)，数学是一种思考方式，是协助掌握其他学科的工具。数学科课程的宗旨是培养学生的构思、探究、推理、建立及解决问题的能力。由于思考能力是不能凭空发展的，数学课程需要重视数学的内容和学习过程 (页iii) 。要发展学生的探究能力，是一个漫长的过程，教师不能只满足教授个别课题的概念和公式，更应提供机会让学生运用已有知识，学习其他相关课题，延展数学能力。教师为学生创造学习机会，让他们观察、分析、发掘或建构知识，鼓励他们在学习过程中扮演更积极的角色；学生透过探究数学问题，运用数学思考寻求解决问题的方法，并能在不熟悉的情况下尝试解决数学问题，加强学习自信，并提升学生的探究能力。
在小学数学课程里，「除法」是学生其中一个较难掌握的课题。学生从二年级开始接触除法的基本概念和简单运算，三和四年级进一步学习除法的运算步骤和技巧，在五和六年级运用除法计算分数和小数的问题。根据课程发展议会的数学课程指引(2000)，小二至小四除法课题的单位和学习重点包括：
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单位 |
学习重点 |
| 二年级 |
2N6 |
1. 认识除法概念─等分和包含 |
| 三年级 |
3N4 |
1. 运用短除法进行基本除法计算 |
| 四年级 |
4N2 |
1. 进行除数两个位，被除数两个位的除法计算 |
小学除法强调学生透过符号记录实物操作的过程，逐渐由具体的操作过渡到抽象符号的运算，以掌握数学系统的规律和结构，从而提升他们的探究能力，以及培养严谨的学习态度。
为什么要关注除法
Ma(2010) 指出数学概念不是孤立的，而是互为关连；这些数学概念形成不同的网络，四则运算是这网络内的道路系统(road system)，是通往各概念间的途径。所以，教师在教授个别数学课题时，需要关注所教授的课题与其他课题的联系。在四则运算中，学生一般较能掌握加、减和乘的概念和运算，但对除法的掌握则未见稳固，这基础会影响学生学习与除法相关的数学范畴，如代数方程和速率。
近年，全港性系统评估报告显示学生在除法的学习表现尚待改善的地方，包括：
一、学生懂得除法的计算技巧解答问题，但在列写数式时，却混淆「除数」和「被除数」。
二、学生不懂得在商的十位写上「零」，而错误地将「零」放在个位。
三、当涉及除法应用题时，学生未能准确理解除法所得的商及余数的意义，学生把商当作答案，而忽略处理余数。
探讨学习除法的困难
农圃道官立小学的数学科教师除了参考全港性系统评估报告，亦分析学生对学习除法的表现，发现有以下困难：
一.学生尚未透彻掌握除法的「均分」和「包含」概念，以及两者的关系。Greer(1992) 指出教授数学课题时，须揭开隐含在该课题的数学概念，如学习除法要掌握当中所隐含的「等组」 (equal groups) 和「等量」 (equal measures) 概念。在学习初小除法时，学生需要清晰理解以下四类与除法相关的情况，才能对除法有充分的理解：
-12 个橙平均分给3 个人，每人可以分得多少个？ [等组均分除法]
-每人给4 个橙，12 个橙可以分给多少人？ [等组包含除法]
-4.2公升的橙汁平均分给3个人，每个人可以分得多少？[等量均分除法]
-每个人分给4.2公升的橙汁，12.6公升的橙汁可以分给多少人？ [等量包含除法]
农圃道官立小学的教师在教授小二学生除法时，依循教科书的编排，透过分物游戏等实作活动，了解均分和包含两种操作的过程，惟学生对这操作背后所隐含和需要掌握的概念，未有足够理解。另外，学生对除法的掌握，较能表达均分概念，惟对包含概念略为模糊。教师发现学生在初小阶段若未能充分理解包含概念，会影响他们在高小阶段学习除法的课题，例如在小五学习分数除法时，学生未能以包含概念掌握分数除法的意义，以致对分数除法的计算方法和步骤感到困难，因为部分的分数除法的内容不能以均分概念作阐释。
二.学生尚欠有系统的学习工具，持续发展探究能力，以加深对除法的理解和掌握。为学生提供有系统的思考训练，并以数学问题作为探究场所，能促进学生的学习参与，使学习不是被动接受，而是主动探求，除了使学生掌握数学的知识，亦能培养学生的探究和解决问题的能力。Huinker (2004) 指出数学的意念(Ideas)、概念(Concepts)和步骤(Procedures)不是孤立的，而是互为关连；数学概念就是处理问题的依据和基础，数学步骤表达解决问题的过程，而数学步骤是由数学概念所指导的。过去多年，农圃道官立小学依循教科书的编排，在小二运用分物游戏，引导学生认识除法的基本概念和运算，惟分物活动较少在小三进一步使用，以掌握除法课题，如一位数除三位数的计算；相反，教科书侧重指导学生除法运算的步骤，如横式和长除法，再通过练习加以巩固。这样，学生缺乏持续运用分物活动，作为探究除法计算的思考工具，以掌握除法的课题，如小四整除性、小五分数除法等课题。
三.农圃道官立小学发现学生进行基本除法计算，如一位数被三个位的除法计算，计算步骤多以模仿教师课堂上的示例，惟对于解题过程所蕴含的意义却不了解。探其原因，学生除了未能充分明白每一步计算的意义外，亦未能联系除法的运算步骤和分物活动的操作过程，影响学生掌握位值、退位减法等概念，以致学生在长除算式中忽略「补零」和退位减法等步骤。另外，学生对处理除法的余数尚欠有效的策略，特别应用题的「最多」和「最少」等问题。
共同备课如何提升对除法的掌握
为提升学生对除法的理解，农圃道官立小学的教师检视学生在校内外的评估数据，发现学生对除法的基本概念较弱，运算步骤亦常出错，更未能以准确的数学语言表达除法的内容。因此，学校透过共同备课，检视校本课程的除法课题，分析学习难点和厘清课题的学习目标，并修订教学策略，从而提升教学效能。农圃道官立小学制定教学策略，当中发展重点包括：
一、强化除法的「均分」和「包含」概念和两者的异同
二、加强「分物活动—运算步骤—数学语言」的联系，作为学习除法的思考架构运用思考架构，掌握除法课题
三、加强掌握除法「均分」和「包含」概念
教师为加强学生掌握除法的「均分」和「包含」概念和两者的异同，以及这操作过程所隐含的概念。在二年级学习除法的概念，教师利用分物活动，帮助学生掌握「均分」和「包含」两种分物方法，设计探究活动，加强同侪协作，并比较这两个概念的异同。另外，教师加强数学语言的训练，使学生能准确表达除法内容，如分物活动内的被除数、除数和商的关系。此外，教师利用图示法，除教导学生掌握「均分」和「包含」操作，透过实物处境理解乘除式的互换，加强学生对乘除关系的连系。
加强「分物活动—运算步骤—数学语言」的联系
教师在教授二至四年级的除法课题时，除以分物活动作为学生掌握除法的思考工具，并着意加强「分物活动—运算步骤—数学语言」的联系，让学生透过探究，寻求解决问题的方法，深化理解。在三年级教授一位数除二位数时，教师运用分物活动，联系除法的运算步骤和分物活动的操作，使学生理解计算中每一步骤，与分物活动的对应，并强化数学语言的运用，从而加深学生对除法运算、分物活动和数学语言的联系。
运用思考架构，掌握除法课题
基于学生所掌握的思考工具和数学语言，在四年级处理除法应用题的余数，教师以分物活动帮助学生理解余数的出现，能帮助学生解决应用题所见的「最多」和「最少」等问题。另外，数学科教授应用题的解难策略，透过审题，如圈出关键字、剔除多余资料，理解题意，综合运用知识和发展探究能力，加深学生对除法的理解。另外，教师会运用学生所掌握的思考架构，促进学生掌握其他的除法课题，如小五的分数除法、小数除法等。
农圃道官立小学期望透过分享会，分享共同备课如何带动校本课程和教学策略的转变，提升学生对除法的理解和掌握。当中，分享重点包括：如何运用校内外的评估数据，检视学生学习除法的困难，制定跟进策略；如何调适除法课程，加强学习重点和教学策略的连贯性；如何为学生提供有系统的思考工具，持续地发展学生的数学思维；如何透过同侪观课和课后研讨来检视学生的学习过程和表现。
参考资料
1.Liping, Ma（2010）. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and United States . N.J. : Lawrence Erlbaum Associates.
2.Territory-wide System Assessment Report on the Basic Competencies of Students. Retrieved from http://www.bca.hkeaa.edu.hk/web/TSA/en/SecTsaReport.html.
3.Huinker, et. al (2004).Unpacking Division to Build Teachers’ Mathematical Knowledge. Retrieved from http://www4.uwm.edu/org/mmp/PDFs/Unpacking%20Division%20article.pdf
4.Greer, Brain (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. in Grouws, D.A.(1992),ed. Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning. MacMillan.
5.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
6.香港课程发展议会(2002)。《数学教育学习领域课程指引》。香港：政府印务局。
费煞思「量」─ 小一至小三长度教学纵向课程设计分享
曾伦尊女士 (高级学校发展主任)
黄凤珠老师、邹立明老师
陈巧卿老师、冼文标老师
(凤溪第一小学)
在香港的小学数学课程中，根据《数学课程指引》(2000)，长度和距离是度量范畴中的一大课题，在一年级至三年级的学习重点中，长度和距离共占了度量范畴约30%的建议教节，可见长度和距离概念的学习是数学学习领域中极为重要的一环。然而长度和距离以及其单位对学生而言都是抽象的名词，学生还需要在完成各级相关课程后掌握以下能力:
一、选择和应用非标准单位来记录基本量度活动的结果；
二、理解应用标准单位的需要；
三、选择适当的量度工具及标准单位；
四、综合数、度量、图形与空间的知识，解决简易量度问题。
量感的认知发展
凤溪第一小学的老师均认为若要学生掌握以上能力，必须培养学生有足够的量感，量感的培养必须在纵向课程中螺旋式地渗入及巩固，并需要理解各阶段学生度量概念的认知发展（王丽娟, 2000），例如 : 学生首先透过感官感觉长度，初步掌握长度概念，然后能够直接比较两个物件的长度 ; 老师在引入间接比较物件长度时，必需让学生真实地运用物件进行间接比较，认识间接比较时，需要排列相等长度的中间人，进而体会「单位」的基础，初步理解单位的操作及其标准化的需要，到真正介绍厘米、米、公里及毫米，同学会更明白单位大小的意义及用途。最后当同学掌握好各单位的概念后，便可对两个量进行化聚。
纵向课程设计
凤溪第一小学老师参考了各阶段学生对长度概念的认知发展程序后，尝试在课程设计上纵向地强化学生对各长度单位的量感，亦加强学生运用身体永备尺的认知，作为有效地估测的依据，再动手实际量度。老师就一至三年级提及有关各长度课题的不同难点作了深入的探讨，两年的共同备课中，在长度教学尝试加强了量感的培养和实物操作，来贯通各级学习活动的设计，经过多次研课、观课及不断反思改良，累积了一些设计活动的经验，希望透过分享会与其他老师交流。
长度概念的初步建立
对于一年级上学期的学生，他们对长度的初步概念只能透过感官感觉，幸好长度是学生最容易保留在脑中作为参考的度量，也是最容易操作的量，但他们较难理解单位的概念，学生对单位的量感非常薄弱，因此老师透过活动让学生直接操作两个物件的长度，学生从直接的操作经验，体认长度和距离比较的意义。然后老师再引入间接比较，即对无法比较的物件的长度，透过排列中间人(例如：万字夹、数学书等)，利用中间人与另一物件的长度进行直接比较，从而推论哪个物件长度较长，整个过程学生需要保留中间人长度的概念，并运用排列相等的中间人，数出各物件包含中间人的数量，作为直接比较。当中老师还特别加入多一件物件作比较，令学生经历三个长度的比较，即是将三件物件分成两组比较，再将结果推论，排列出三个长度。部分学生对抽象的逻辑推理关系明显地感到困难，于是老师让学生从观察中知道小明比小华矮，小华比小英矮，从而得出小明会比小英矮。另外老师从不同的活动中发现学生在运用中间人或自订单位进行先估计后量度、处理以个别单位为基础的长度合成活动及选择合适的自订单位进行量度都会感到不同程度的困难，需要在下学期再次加强。
从自订单位到标准单位
到下学期，老师首先要重温上学期所学，利用课室学习的情境，重温先估计后量度，让学生自行选择运用中间人或合适的自订单位进行估计及量度老师桌子的高度。老师刻意选取两位同学的结果作比较，他们各自运用不同长度的铅笔作自订单位，量出书桌的高度分别为「小强的8枝铅笔」及「小娟的6枝铅笔」。老师刻意地制造矛盾，让同学理解老师的桌子高度是一样的，而同学量度出「8」和「6」不同的数量，是因为小强铅笔的长度和小娟铅笔的长度不同，并且知道「6」之所以小于「8」的原因，是因为小娟的铅笔长度大于小强的铅笔长度。老师利用此活动引导学生认识使用公认单位的需要，进而引入标准单位「厘米」。学生在间尺上认识刻度的结构，亦是他们建立1厘米量感的起点，老师需要引导学生测量身体的永备尺，如运用手指的宽度(约为1厘米)作为以后厘米量感估测的基础。在以厘米为单位比较及量度物件的长度和物件间的距离时，学生便懂得选择合适的永备尺手指来进行估量，再以间尺真正量度并验证。另外老师亦发现学生在使用自备的间尺进行量度，会遇到种种困难，例如各种不同类型间尺「0」的位置不同，同学使用间尺时未能注意对齐「0」，再报读尺上对应的数字，此外，在量度时不强调毫米的刻度，仅需报读厘米的刻度。所测量物件如果不是整数厘米单位，则以「大约多少厘米」做报读。
学生在量度的迷思
老师亦会让学生经由长度之经验，学习如何在数线上做比较与加减运算，由此为学生建立整数与有理数的整合，作为日后学习负数、实数、几何的基础。例如：如果一把断掉的尺，无法从「0」对齐时，若所测量的物件是从刻度7到13，学生会错误地在间尺上由7数到13，并认为该长度是7厘米。
事实上，这个物体应由7到8为1厘米，如此类推数至12到13共6厘米，而并非数间尺上的数字7、8、9 ‧ ‧ ‧ 、13。最后老师会强调量的估测活动不是实测的近似值，而是培养量感的活动，有好的量感，对日常生活很有助益，如果要训练同学能在不使用正式测量工具的条件下，估测量的大小，老师必须将量的估测与量的经验建立密切的关系，同学做估测活动时，亦应注意单位的合理性。
由「厘米」认识「米」
在二年级，老师同样地让学生先理解使用公认单位的需要，然后认识「米」(m)，再在量度及比较物件的长度和物件间的距离前，强调学生需要先选择合适的永备尺进行估量，并选择合适的量度工具，作真正的量度。二年级引入「米」时，老师会设计与生活情境相结合的活动，先从学生最常用的单位开始，重?间尺上「厘米」的刻度结构，让学生延伸所学至100厘米，从而引入较大单位「米」的需要。整个过程必须从具体到抽象，发挥实物和教具的作用，引导学生动手做。在实际量度物件的长度及高度前，必需让学生先以身体的永备尺作估测的根据，先估计以训练对「米」的量感，再引导学生实际测量身体，找出最接近1米的永备尺，如量度两手展开的宽度约为1米，作为以后「米」量感估测的基础，再选择适当的工具，然后量度，正确读出量度数据及单位，作为验证。老师在安排实际量度活动前，必需让学生认识各种量度工具如 : 间尺、米尺、卷尺、拉尺或滚轮的使用方法，如何准确地报读量度结果及其优缺点。学生在认识「1米＝100厘米」的关系并理解其意义后，在真正量度时便可应用单位换算。在测量时，可让学生自然地用复名数来描述测量结果，然后再进行换算以记录测量值。例如：小明的身高为1米23厘米，也可以写成123厘米。
由「米」认识「公里」
在三年级，同学对1公里的量感特别难于建立，老师必须让学生随生活经验的扩充，延伸到更大的单位「公里」(km) ，老师于是刻意安排同学在校园范围自行设计1公里的路程活动前，老师首先让学生在谷歌地图网页1公里路程的长短。同学由学校正门出发，按?网页提供的路程，一起模拟走到上水火车站，全程约为1公里。之后，学生再在学校校园地图上设计1公里的路程。老师首先让同学分组在班房内按地图上提供的距离计划路程，再真正走到校园验证设计，然而在计划路程时已发现同学遇到困难重重，同学对处理1公里长的路程只懂得运用地图上提供的距离作连加的运算，务求将答案计算至1公里便完成任务，根本没有理会如何走这段路程，另外同学亦不能灵活地将路程重覆以建构1公里的路程，老师必须要引导学生可将1公里分成10段100米、5段200米又或4段250米的路程，适当地重覆计划的路程便可。经此一提，同学便能较快地完成设计。真正走到校园验证设计时，老师发现同学设计的路线所估计的距离，与真正量度的距离相当接近，经老师查看后，同学便可继续走指定重覆的路程，真实地感受1公里路程的长度。最后老师还引导学生认识任何的量度结果都是近似值，令学生明白量度的近似性质。量度的结果都只是近似性质，无论选取多细小的标准单位作为量度单位，仍无法找到量度结果的绝对值，因所选取的量度单位还可细分，所以量度的结果实有赖于所要求的准确度。
由「厘米」认识「毫米」
当老师要求学生提升量度的准确度时，便能顺理成章地引入「毫米」(mm) 。老师特别设计不同长度线段的比较，由粗疏至精密，让学生体会最小标准单位的需要。过程中，老师发现同学对?读细密的毫米感到困难，亦会用小数表达答案，例如将17 mm的长度表达成1.7mm或cm，可见同学对毫米的量感尚未建立，于是引入一角硬币的厚度约为1mm，让同学具体地掌握1毫米，亦重提1厘米约为手指的宽度，强调1厘米包含10毫米的关系，到量度实物时，同学的表现明显进步，不会再混淆两单位。最后，老师会重申四个单位的特点、用途及相互之间的关系，亦会进一步要求同学以直观估计物件的长度和物件间的距离，藉此考查同学对各单位量感的掌握。
整个纵向课程约实施了两年，经过多次?课及观课的反思及优化，老师均认为应加强同学的量感培养，在教授每个单位时都引入估量的标准，让同学具体地掌握每个单位的量感，再设计合适的量度活动，在量度前必须先估量，并选取适当的单位及工具才进行真正量度，当同学完成量度，还要求同学准确地读出读数及单位，以加深同学对单位的认知。两年来，老师以同样方式连贯了三级的长度教学，大家都感到同学对各单位的量感明显地增强，再不会胡乱量度及读出不合理的读数，或配以不适当的单位，效果令老师非常满意。
参考资料
1.王丽娟(2000)。《数与量教材探讨》。网址：www.tkes.tn.edu.tw/math/92year/数与量教材探讨.DOC
2.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：香港印务局。
非华语学童的数学学习历程──从数数到加法和减法(小一至小二)
吴沛荣先生 (高级学校发展主任)
陈嘉仪老师、莫汉威老师、李宝宝老师(伊斯兰学校)
学者Aubrey(1993)认为当孩子上学时，他们已经具备了不少关于数字概念的非正式知识，而Bryant (1997, 页67)亦指出「孩子入学之前，他们早就开始学习，当他们入学时已经知道一部份事情，但?对不是所有事情，所以在他们进入课室之后，我们必须找出孩子的知识中哪些东西可能对他们造成影响」，例如：老师在教授「位值」时，必须了解学生是否掌握了读数和数数的方法，而对数字组合的认识又有多少。由于这些数学知识，对于不同文化背景或者不同能力的学生都会有不同的表现，老师在教学上若果不能配合学生的已有知识，便难以辅助这些学生学习「位值」的概念，以至运算能力的发展。
由于非华语学童是来自不同的国家，有着不同的文化背景，加上学生来自不同类型的幼稚园，对数学的认识及理解，早已存着不同程度的差异，要老师找出哪些东西对他们的数学学习造成影响实在不容易，所以当这些学生从幼稚园升上小一后，任教这些学生的老师经常会发现他们对于1-20的认识，有着不同程度的差异，尤其对于数数、数字和数量的关系和18以内的基本组合上，学生的学习表现比较参差，所以老师在教授加法和减法时，便感到困难重重。有见及此，伊斯兰学校的老师，早在学生入读小一时，便从1-10开始，重新帮助学生学习数数、读数、识别和书写数字，藉此建立正确的数数技巧、书写数字的读法和写法，以至1-10的基本组合，除了认识他们的文化背景如何影响他们学习数学外，最重要的还是要帮助学生建立好这些基础的数学知识，再按着学生的学习表现，设计日后加减法的教学策略，帮助学生掌握基本的运算能力。
数数、读数和写数的学习与文化背景的关系
当幼稚园学生升上小一后，按着课程的要求，他们都会学习「10以内的数」和「20以内的数」，当中包括数数、读数和写数的过程来建立1-20的读写能力，然后再学习顺数、倒数、单数、双数、序数、基数及以一一对应的方法比较两组物件的多少，最后才学习18以内的基本组合 (香港课程发展议会，2000)。当学生熟习1-18的基本组合之后，便会开始学习基本的加法和减法。对于本地学生，学习「1-10的认识」到「1-18的基本组合」一系列的内容，并不困难。但对于非华语学童，由于语言上的问题，加上部份学生没有入读或完成本地幼稚园的课程，学生打从1-20的数数开始便出现了学习问题，而当中甚至有学生不能依次序地念出1-20来，表现出学生未能掌握数数的技巧，所以伊斯兰学校的老师在教授学生以英语数数时，便从最基本的步骤着手，重新以唱游的方法先教导学生唱数，然后一边唱一边拿着玩具，拿一个玩具就唱一个数，然后逐步建立学生数数的能力，这样一来，老师便要花上一段时候来教学，相比起本地学生来说，非华语学童的学习数数的时间亦因此比较多，而为了照顾学生的学习需要，伊斯兰学校的老师更在有关教学时间、学习内容和教学策略上重新作出调整和分配，以配合学生实际上的需要。
非华语学童对于数学学习感到困难，其中一个原因是由于文化差异所造成。由于非华语学童有自己的语言和生活文化，他们虽然生活在香港，但同时受着家人、亲戚和朋辈的影响，对数学学习上，有时仍然会采用一些自己本土的学习方法，这些方法有别于本地老师的教导，令学生的学习出现混淆。除此之外，在数学符号方面，巴基斯坦的数字「6」，写法与阿拉伯数字的「4」相若，但学生写起来却像「9」，而尼泊尔数字「9」却与阿拉伯数字的「5」相若，故此，老师若不了解不同学生的文化背景，便会很容易误把学生正确的答案为错误。
在数数和写数的配合方面，由于大多数学生是以英语学习数学，因此造成数字语言方面的障碍，例如在学生的习作中，老师不难发现当学生写到13到19时，先写右边的数字（但20以后就会从左边开始写数字），而在读数时，学生有时会从右边到左边读出两位数，例如看到27便读成72，这主要是南亚裔学生的本土语言，在读两位数时，有时是先读个位，然后读十位所致，因此语言的阅读障碍，亦可能是令学生在辨认为书写数字上感到困难的原因，因此老师若不了解，重新引导学生分辨英语读两位数字的次序与他们的读法有所不同时，学生便会容易在「位值」的问题上容易产生混淆，影响学生学习加法和减法。
在数数方面，中国人习惯利用数手指(counting with fingers)学习数数，数数对于将来学习个位和十位的概念比较容易，亦有利于学习五个一数和十个一数的估算，但对于南亚裔学生来说，他们自小便受老师和家长教导，以数手节(counting with finger joints)来学习数数，虽然双手能数出三十来，但不利于学生学习位值的概念和五个一数及十个一数的估算。根据Zaslavsky的研究，这种数数的方法流行于印度，称为agnee ka perva，即是用手节来数数，对于当地一些文化水平偏低的人会用来进行运算，例如：以向上数(count-on)的方法来找出两个数的和，利用重复加倍(repeated doubling)的方法来进行乘法及重复减半(repeated halving)的方法来进行除法(Zaslavsky, 1996)。老师若不了解学生背后的数数及运算模式，在教学上自然不能配合他们的学习习惯，从而产生不少冲突，学生亦因此跟不上本地学习内容和进度。
加法的学习
Foster(1994)所提出的四个加法学习阶段，以头两个最为重要，即是：
一、从头数(count-all)：两组物件放在一起，由头数一遍。
二、向上数(count-on)：先数出一组物件的数目，然后心中记着这个数目，再接着向上数第二组物件的数目，最后数出的数目便是这两组物件的总数。
一般而言，本地学生不难掌握这两个学习阶段，但对于非华语学童来说，学习差异问题则较大，他们对于数序和数字与数量的关系上，认识比教薄弱，所以在第二个阶段时已经出现严重的障碍，不少学生仍然停留在第一个阶段，仍需要用画图数数来进行计算，有时甚至连顺数和基数的认识还未掌握得好。为此，老师便设计不同的教学活动，例如数钱币、数朱古力和唱数游戏，以协作和比赛的模式进行，尽快帮助学生过渡第二阶段。在加法的运算策略上，老师更尝试先引入「合十法」，帮助学生掌握10的组合，然后再帮助学生以合十的技巧来学习11-18的组合，伊斯兰学校的老师在教学过程中，亦发觉学生有不同的学习表现，部份学生对于个位加法的表现也不理想，但对于能力较好的学生，却根本不需要这种方法，便能找出答案，老师认为主要原因，取决于学生的数数技巧是否熟练，1-18基本组合的教学方法是否适当，练习是否足够，而倘若学生不能掌握1-18的基本组合和基本加法的知识，将会直接影响学生学习进位加法的果效。对于基本加法的学习方法，老师亦表达出不同的意见并且进行讨论，有关的教学方法可参阅附件。
减法的学习
相对于加法来说，减法的学习策略主要有一种是往下数或往后数(count down or count back)。对于减法，伊斯兰学校的数学老师提出了不同的教学方法(详情请参阅附件)和意见，尤其是对半心算（减十法）和扣数法，有较多的讨论，不同的学生有不同的学习表现，很难说那一种较为优胜，至于倒数法，大部份老师都认为学生倒数的能力较弱，不宜采用；至于能力较弱的学生，则仍然采用画图删去法，显示学生仍停留在具体的数数阶段，令老师感到很懊恼，必须重新教导学生1-10的基本组合和「合十法」，帮助他们掌握10以内的减法，至于11-18以内的减法，先通过数数、读数和写数，认识11-18，再认识11-18的基本组合后，才学习18以内的减法，而如果学生不能熟习有关的基本减法，当学生在小二学习退位减法，便会产生很大的问题。当然，能力较高的学生，能够凭着对11-18的组合的熟练程度，就可以不假思索地找到答案，而这些学生在小二学习退位减法时，所面对问题亦相应地少。然而，各校的学生都有不同的表现，主要是视乎学生对基本加减法的掌握情况，同时亦与学生的学习习惯有关。
由于小一至小二的加减法，是整个小学数范畴的根基，学生对于这些知识若果掌握得不好，将会严重地影响他们日后的数学学习，而南亚裔学生在学习有关的课题时，却表现得较为参差。为了解决这个问题，伊斯兰学校任教小一和小二的数学老师，在过去几年，亦已就着这些课题，依据着学生的能力和已有知识，设计及尝试了不同的教学方法和教材，希望他们能够尽快学好加法和减法之后，可以应付日后学习上的需要。在这次的数学分享会中，老师使尝试把这几年的教学经验和感受，与业界同工一同分享。
参考资料
1.Aubrey,C.(1993). An investigation of the mathematical knowledge and competencies which young children bring into the school. British Educational Research Journal. 19.1,27-41.
2.Bryant, P.(1997). Mathematical understanding in the nursery school years. In Nunes,T. and Bryant, P. (eds). Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective. 53-68
3.Foster, R.(1994). Counting on success in simple addition task. Proceedings of the 18th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. 2, 360-7.
4.Zaslavsky, Claudia (1996). The Multicultural Math Classroom: bringing in the world. Heinemann.
5.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
附件
「分」外有理－探讨小三分数基本概念的教学点子
周伟志先生（高级学校发展主任）
周静怡老师、严智琪老师、叶展汉老师（拔萃小学）
如何建构学生对分数的概念理解一直是数学教育工作者的关注问题，分数的基本概念在本港的小学数学课程指引中属小三的课题(香港课程发展议会，2000)，学习重点包括：
一、认识分数作为整体的部分及一组物件的部分
二、认识分数与1的关系
三、比较同分母或同分子分数的大小
拔萃小学的老师在讨论分数这课题时讨论到学生在解答有关分数概念的问题时似是一知半解，例如他们会误判一些图形是否分成若干等分，又例如他们对找出一组物件的部分数量会有困难，在讨论过程中，我们先互相厘清大家对分数基础概念的认识，其实在发展不同数学课题的校本课程时，老师对不同概念的理解很多时会影响他们如何理解学生的表现及构思适切的教学策略，以下是我们曾讨论过的一些问题。
分数学习在取向上有所转变吗？
在十八及十九世纪时，由于商贸活动发展迅速，计算工具也没有现今的先进，故分数的运算在数学基础教育中占了很重要的位置，但随着数学教育的发展，分数学习的取向已转变为强调概念的理解。其实教育学家在二十世纪早期引入了对分数概念理解的革新看法，就是以整体和部分的关系作为学习分数的基本概念，而皮亚杰（Piaget）乃是首位探讨孩童如何从分割图形中建构分数概念的学者。虽然如此，现今教师仍重视教授技巧多于概念，这也令学生忽略理解分数的意义，导致他们在分数的表现未如理想，这情况或许也可反映本港一些数学课堂的情况。
分数有多少种不同的概念呢？
Kieren（1980）提到分数可分为五种不同但互有关连的概念，就是部分与整体的关系、量度、运算、除数及比和比例，而在分数的基础概念中，部分与整体的关系及量度均为其他概念的发展基础，在本港的教科书及课堂中，均较强调部分与整体的关系，而较少从量度方面引入概念，在理解部分与整体的关系时也偏向要求学生从整体中找出部分，而忽略了从部分中找出整体，这令学生未能较全面地理解分数的基础概念。
分数能以哪种形式理解？
正如课程指引提及，分数可作为整体的部分及一组物件的部分，当我们以摺纸形式表示一图形的部分时，我们是以面积来理解一个分数，当我们以数数方式表达一组物件中的部分时，我们是以数量来理解一个分数。两种形式的表示均在课本中出现，但均偏向以正例子作出介绍，而忽略以反例子让学生多从分辨中巩固对概念的理解；而在一组物件的表达中，同组物件也排列得很整齐，学生也会忽略了数数的重要性。此外，我们认为有另一种表达方式是较被忽略的，在课程指引的第三点中，学生需比较分数的大小，在这情况下学生要以分数的值来作比较，上述提及以一件或一组物件的部分作为表达方式均未能有效地让学生过度至数值的概念；反观如以度量中长度的概念引入，则较为配合学生习惯在数线上表示数值的方式，以长度来显示分数，学生可较容易作出估计及检视解题过程。
应以何种实物或图形作操作活动？
老师普遍透过图形与实物操作协助学生建构分数的基本概念，数学教育家最初较常以分割圆形作学习活动，认为圆形较有整全的概念，后来发现应让学生多从不同图形中加强理解，这些图形的等分活动已常作学习分数的课堂活动。图形分割只能让学生建立分数作为整体一部分的概念，而要建立分数作为一组物件一部分的概念则要从数实物（例如：数粒）中学习，但很多时老师只要求学生数图画中的物件，而忽略了数实物的重要。此外，也有以分数条作操作工具的，这工具主要让学生从长度方面理解分数，现今已愈来愈多数学教育家建议以长度来理解分数（Graeber and Tanenhaus, 1993），学生可先以棒状图后以数线作配合，这样学生会较容易理解，当然棒状图可以纸条或图像形式出现，如以数线表示分数，学生可以此为比较分数的解题工具。
综合以上讨论，老师认为让学生建构对分数清晰的概念至为重要，当中的概念包括部分与整体的关系，除了从整体中求部分外，也要从部分中求整体，我们也期望让学生从长度中理解分数。我们期望学生能以分数表达一个整体及一组物件的部分，并能以其数值比较大小。在操作活动方面，我们会以不同图形让学生对比正反例子，也让学生多作数数练习，并从长度中建立分数的数值概念。
和拔萃小学的老师探讨分数教学的过程中，我们参考了国际上两个分数教学的研究计划，第一个是在美国进行的「Rational Number Project（RNP）」（Cramer et al., 1997），而另一个则是荷兰的「Ｔhe Fractiongazette」（Bokhrve et al., 1996），两个计划均针对发展学生分数的概念而进行。前者强调让学生建立分数作为一个整体及一组物件的部分的意义，后者则以量度的概念处理分数的教学。我们分析过课程的学习重点及学生的学习需要，认为两者对分数概念的诠释均需兼顾，我们也分析过两个计划所发展的教学策略，发现当中有三项共同的教学元素值得我们参考，我们以这三项元素作为设计教学的基础，让学生从不同层面建构分数的基本概念，这三项元素分别为：多元化的表达概念方式、从解难中建构概念及运用数学语言解释概念。
不同表达方式
我们鼓励学生以多元化表达方式建构分数的概念，学生需从不同方式中探究及表达同一概念，这些不同的表达方式包括实物、图像、符号、口述及生活化情景等，学生能从连系同一概念但不同的表达方式中建构概念，要达到此学习目标，学生需有足够的学习经历，老师需让学生从不同实例及操作实物中累积学习经验。在探究分数的概念时，我们以日常生活的例子、不同形状的图形、数数工具、棒状图及数线等，让学生从观察、摺纸、画图、操作、分辨及判断中，配以不同的正反例子，以不同的方式表达及连?同一概念。
从解难中建构概念
解决难题与概念理解有着重要的关系，解难题目能协助学生学习新的概念，以及应用概念于新的情景中，学生在学习分数前已有一些分割图形或剪纸的经验，学生可运用这些经验于不同的等分活动中解决问题，从中建立概念。我们在教学过程中渗透了不少解难元素，例如：学生需以不同方式等分同一图形，学生也需从图形的部分中推论出原来的图形，或从一组数的部分中推论出原来的数，学生也需在数线上显示分数的大小。老师考虑到解难活动的设计应以提高学生的参与程度及讨论的兴趣为主，故鼓励学生以不同的答案、解题策略及表达方式解答。
运用语言解释概念
我们期望在教学过程中，学生能有充份的机会讨论、表达及分享他们的想法，老师相信如学生真的明白概念，他们应能以语言作出解释。学生在建构概念的过程中，以口述表达、问题讨论及概念解释来促进全班的互动至为重要，老师认为语言解释能连系分数中不同的概念、不同的表达方式及不同的解难策略。在教学过程中，我们让学生有很多运用语言的机会，并期望学生能解释等分及分数在一件物件、一组物件及一条长纸条中的意义及其分别。
正如起初所说，分数的基本概念一直是老师们的关注问题，在教学策略上也有不同的尝试与经验，在本次分数的教学探讨中，老师并没有运用一些独特的教学方法，我们只是尝试在旧有对分数的概念理解上作多了一点诠释，也尝试以这些诠释理解老师常作的操作活动在建立分数概念中的不同定位，例如：等分图形表示分数代表一个整体的部分（图一）、等分一组物件表示分数代表一组物件的部分（图二）及等分棒状图表示分数的数值（图三）。
我们并尝试把这些活动作出一点新增或润饰，看看学生在当中有什么有趣或特别的表现。此外，我们也尝试从连系多元化的表达方式、数学解难及运用数学语言解释概念方面为这些教学活动作出一点注解，让老师进行教学时多思考活动背后的理念。老师期望透过这次研讨会和大家分享他们探讨这课题时的经历及所思所想，包括他们如何从分析学生难点、教学重点到设计教学的经历，老师会以课堂片段及学生习作阐释学生在学习过程中的表现，从而回应对此主题的看法，并希望与会老师有所交流。
注：本环节以粤语进行，但由于拔萃小学以英语作为数学的教学语言，故示例则以英语为主。
参考资料
1.Bokhove, J., Buys, K. (ed.), Keijzer, R., Lek, A., Noteboom, A. and Treffers, A. (1996). De Breukenbode, Een Leergang voor de basisschool (werkbladen en handleifing) [The Fractiongazette], SLO/FI/Cito, Enschede/Utrecht.
2.Cramer, K., Behr, M., Post, T., & Lesh, R. (1997). The Rational Number Project: Fraction lessons for the middle grades, Level 1. Dubuque, IA: Kendall/Hunt Publishing Co.
3.Graeber, A.O. and Tanenhaus, E. (1993). Multiplication and division: from whole numbers to rational numbers. In Douglas T. Owens (Ed.), Research Ideas for the Classroom – Middle Grades Mathematics, New York.
4.Kieren, T.E. (1980). The rational number construct: Its elements and mechanisms. In Recent research on number learning, 125-149, Columbus, Ohio: ERIC-SMEAC.
5.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
成「千」上「万」-- 从「五位数」教学设计说起
周凌俊韶女士 (高级学校发展主任)
李佩芬老师、李敏贤老师、施懿德老师(海坝街官立小学)
位值的学习问题
在海坝街官立小学的三年级数学科共同备课会议上，教师提及学生在「五位数」这单元的学习时，有以下的意见：
「学生在一年级已学过单数和双数，为何个别学生仍未能分辨单、双数？」
「在比较不同五位数大小时，何以有部分学生总不能正确地把它们排序？」
「如果要求学生把若干粒算珠放在算柱上，以表达最小五位数时，他们大部分总爱在每条算柱放上算珠。任凭我们怎样苦口婆心地教导他们，他们总是左耳入，右耳出，经常都做错，真叫人费解！」
相信以上的说话都会令不少数学科教师产生共鸣。何以我们看来简单易明的内容，学生学起来却出现诸多问题？归根究底，学生对「位值」概念，尚未充分掌握。
所谓「位值」，是指数的表征中，每个数字所在的位置所代表的值。例如「987」中，「9」的位值是100，「8」的位值是10，「7」的位值是1 (Ross, 2002)。根据现行的《数学课程指引(小一至小六)》(以下简称「课程指引」)，「数」范畴占了第一学习阶段46%，当中涉及不少是加减乘除的基本概念和运算技巧。不过，要明了计算原理，非要掌握位值的概念不可，否则便会直接影响学生学习四则运算的成效，甚至影响日后在较高年级所学的分数、小数及百分数等基本概念的认识。因此，位值是一个基础的概念，是儿童在学习多位数的加减乘除之前所必须具备的概念(罗素贞，2007)。相信不少数学科教师不时发现，部分学生在计算6 + 24时，会错算为84，又或在计算乘法或除法时，常常在进位或退位时出现错误，例如把27 3误算为621，又或把420 4 错算为15，皆因这些学生的位值概念薄弱。此外，National Council of Teachers of Mathematics (简称“NCTM”) (1989) 指出假如我们认为数字感和数概念在数学中占有极为重要的角色，那么，位值概念的掌握必然是儿童数概念发展过程中，最为关键性的步骤之一。
在课程指引中，「认识单数和双数」只包含在「1N1 10以内的数」单位内，学生往后所学的「1N2 20以内的数」至「3N1 五位数」，再没有包括这学习重点。至于教科书的编排，虽然不少在「1N2 20以内的数」也会重点教授单数和双数，但学生所认识相关的概念，亦只限于20以内的数；因此，学生对单数和双数概念的认识是否整全，这是值得我们关注的。
此外，Fuson(1997)指出研究发现，儿童在比较不同数的大小时，甚少利用位值概念来思考，例如他们知道24比17大，一般都是由17开始往上数，数到7个数便得到24；他们把24看成一个数字，但并不清楚2是代表2个10，4是代表4个1。因此，当学生要比较数的大小时，面对繁复的数字，学生的表现又怎能如教师所愿呢！
学生在「全港性系统评估」中的表现
近年的《全港性系统评估学生基本能力报告》(以下简称「报告」)对学生在理解整数的基本概念方面，作了以下评论：
| 年份 |
评论 |
| 2010 |
大部分学生能写出算柱上所表示的数值 |
| 2010 |
大部分学生能以文字表示阿拉伯数字，一些学生未能以文字正确地写出整数 |
| 2008 |
当题目要求学生利用算柱进行加法计算时，他们表现较弱 |
| 2008 |
部分学生未能按特定的准则在算柱上表达整数 |
从上表看来，学生在面对首两题属于常规性问题时，表现尚算理想；但当处理到后两题属于较不常规的问题时，表现却未如理想，反映他们对相关概念的掌握，仍未牢固。
「五位数」教学实践
除上文所述学生的学习难点外，海坝街官立小学的教师检讨在学生「全港性系统评估」中的表现时，发现他们在「五位数」这单元中，不少均未能按特定的准则在算柱上表达整数。教师普遍认为学生对位值概念了解不深，加上题目具有相当的挑战性，已非评估学生的「基本」能力，再者学生对该类题目甚感陌生，不但教科书欠奉，甚或在课堂中，教师也较少教授这些题目。此外，教师也构思了另一学习活动，让学生利用不同的数字卡组成五位数，巩固他们对五位数学习的同时，也能加强其数字感。
针对以上种种，我们在课程上作出了相应的调适，如在一年级下学期的「1N4 100以内的数」，我们加强了顺数和倒数，以及单数和双数的教学，让学生对相关的概念能掌握得较为整全。此外，透过实际操作活动，让学生掌握如12个1即1个10和2个1等，提升他们的位值概念。苏顺德(2006)的研究指出让学生实际动手透过实物的操作，对于位值单位转换的过程能更掌握，有助巩固他们的位值概念。在「2N1 三位数」、「2N4 四位数」以及「3N1 五位数」中，除继续推展让学生明了不同位值单位的关系外，教师还针对学生不能类推的数字，例如：248、249、250、251(过十)，1398、1399、1400、1401(过百)，34998、34999、35000、35001(过千)等，编排读数活动，以弥补课本的不足。我们期望透过上述课程的纵向规划，让学生能从小一开始，对位值概念有较为整全的掌握。
要求学生按特定的准则在算柱上表达整数，其实甚具挑战性。因此，教师决定让学生透过实作活动，加强学生对位值的理解。教师循序渐进地，先着学生利用两粒算珠，在算柱上表示出所有五位数组合。学生透过实际操作，把算珠放在算柱不同的位置，所得的结果共有五个组合，分别为20000、11000、10100、10010、10001。教师再利用学生所得的结果，要求他们先探讨各数的位值，然后讨论哪个是最大/最小的五位数，进而再处理单/双数的问题。学生在取得此等学习经历后，再利用较多数量的算珠进行相类似的活动，学习表现已有所提升了。教师认为学生在进行活动时，表现投入，而通过操作活动，学生普遍已能掌握相关的概念和技巧。虽然个别学生的表现尚未理想，但起码他们已没有再在每条算柱放上算珠了，反映他们已有所改善。
为了培养学生的数字感，教师也特意在这单元中设计学习活动。教师由浅入深地引导学生利用两张、三张以至五张数字卡，分别组成不同组合的两位数、三位数以至五位数，从中不但能巩固学生对课题的认识，且能加强其数字感，更能让学生从活动中得知不同数量的数字卡所组成的整数也各有不同。教师反映学生普遍能利用四张和五张数字卡组成不同整数，个别学生更能有条理地，罗列出五张数字卡所组成的所有不同组合，令教师大为鼓舞。
在筹划相关课题教学的过程中，三年级教师共同商议教学策略和分享教学经验，又进行同侪观课，实际了解学生的学习情况。在整个教学实践的过程中，教师作了以下的归纳：
一、透过这次的教学实践，教师深深体会到「位值」概念对学生来说颇为抽象，要他们了解这抽象难明的概念，并非只凭教师的讲述便能达致，实际操作、小组讨论等活动是不可或缺的。
二、总结是次教学实践，教师一致认为学生的学习问题虽然在三年级浮现，但要解决问题的症结，单靠该级教师的努力并不能成事，一、二年级教师也须及早提供协助，梳理学生在学习上所遇到的问题，这样才可事半功倍。
教师期望透过是次分享会，分享他们的构思和经历，包括分析学生的学习难点、教学设计和学生的学习表现，并希望跟与会教师有所交流。
参考资料
1.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
2.香港考试及评核局(2008)。《2008年全港性系统评估学生基本能力报告》。香港：香港考试及评核局。
3.香港考试及评核局(2010)。《2010年全港性系统评估学生基本能力报告》。香港：香港考试及评核局。
4.Fuson, K. C. (1997). Children’s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Mathematics Education, 28(2), 130-162.
5.NCTM(1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va : The council.
6.Ross, S. (2002). Place value : Problem solving and written assessment. Teaching Children Mathematics, 8, 419-422.
7.罗素贞(2007)。《国小学童位值概念与多位数加减问题解题表现关系之研究》。网址http://140.127.82.166/handle/987654321/2205?mode=full&submit_simple=Show+full+item+record
8.苏顺德(2006)。《屏东地区国小一年级学生位值概念之研究》。网址http://etd.npue.edu.tw/ETD-db/ETD-search-c/view_etd?URN=etd-0501107-162445-276
初小教室内的实作评量
萧霞萍女士(高级学校发展主任)
苏超明老师、罗瑞莲老师、杨菁老师(保良局黄永树小学)
多元化评估的需要
在教、学和评估的循环中，评估的作用已从「对学习的评估」转为「促进学习的评估」。透过评估，教师能诊断学习、给予回馈，以及提供更合适的教学活动。
《数学教育学习领域课程指引(小一至中三)》(课程发展议会, 2002)指出，数学科的评估不应只注重学生解决数学问题时所提供的答案，亦宜反映学生的学习过程、解决数学问题时所用的技巧及在思维和态度方面的发展，以达致全面了解学生的学习表现。因此，多元化的评估活动是必须的。而实作评量能兼顾学习的过程和结果，所以逐渐受到教师的重视。
何谓实作评量？
实作评量是指让学生在不同的情境下完成某一项指定的任务，以表现他们对数学知识的理解和应用(教育局，2006)。
Herman, Aschbacher及Winters(1992)对实作评量的特质做了更清楚的说明，他们认为实作评量应具备以下特征：
一、要求学生实作、创造、制造或是作出某些成果。
二、涉及到高层次思考以及问题解决能力的技巧。
三、课业内容呈现出有意义的教学活动。
四、牵涉真实生活的应用。
五、以人为判断进行评分工作。
由此看来，评量方式着重高层次能力，如思考、分析、组合、判断，以及表达能力的启发，思考过程和逻辑推理的程序考量。评量不单看成果，而且也考量过程，所以能了解学生造成错误的原因以及学生对某一问题考量的层面、思路过程，以及逻辑方式。
学校推行实作评量的经验
针对实作评量可能带来的学习成效，保良局黄永树小学于去年下学期，尝试在二年级进行有关活动，并在「度量」范畴中拣选了「重量」这一单元，以课堂研究(lesson study)的方式进行实作评量。
实作评量和其他的评量一样，要设计出适合的问题，都必须经过一些严谨的计划过程。虽然实作评量的设计没有标准可循，但是在设计过程中仍须考量一些必要的因素：
一、决定评量的目的和目标。
二、设计题目。
三、设计评分表格和记录的方式。
四、分析评量结果。
五、反思与修订。
经过数次磋商后，我们决定透过估计及量度物件的重量，来评估学生对重量概念以及量度技巧的掌握，评估重点则分别涵盖知识、技能和态度三方面：
一、学生能写出座?磅上能量度的最大重量。
二、学生能写出座?磅上每一小格代表多少重量。
三、学生能以100克的砝码和1公斤的重物作为参考指标，合理估计物件的重量。
四、学生能够量度物件的重量。
五、学生能在进行活动时态度认真并能与人合作。
针对学生应该达到的学习成果，我们安排在教室内摆放六个摊位，其中三个用于估量活动，余下的则用于量重活动，每个摊位内用作估计或量度的物件都不相同，从而避免组别之间抄袭答案。学生按指示进行分组活动，并透过操作、观察及讨论，完成相关工作纸。教师则需要在活动进行时，按评估重点进行观察，并依据学生的表现即时给予评分。
评分部分需解决两大难题，一是评分的方式，二是以教师的专业判断即时给予学生评分。
我们先讨论第一个难题，在知识方面，学生的表现只有两个层面：对或错，所以评分比较简单，教师可直接从工作纸的答案决定学生是否取得该部分的分数。然而技能和态度的表现是有程度上的分别，为了能确实反映学生的程度，我们决定将这些部分以量表的方式订出评分标准，例如在估量部分，误差在50%以内可得2分，误差在51%至100%之间可得1分，而误差超过100%的便给予0分，态度方面更细分为四个程度，并详列评分细则，以便教师在评分时有具体的依据。
至于第二个难题，在一般情况下，教室内只有一名教师，在监控整个课堂活动的同时，教师又如何兼顾「即时依据各个学生的表现而给予评分」呢？为了解决这个问题，我们采取以下策略：
一、只评态度，其余部分则在批改学生的工作纸时给予评分。
二、量表按学生的座位编排，以方便教师记录。
在总结经验时，教师认为实作评量可以让他们了解学生对问题的了解程度、投入程度、解决的技能和表达自我的能力，能够较完整的反映出学生的学习表现。另一方面，学生的学习动机普遍较一般的课堂活动高，同学之间也较愿意互相合作以取得较佳的评分，令互补不足和互相启发的效果更为彰显。然而实作评量除了需要时间和人力去评分外，评分的一致性也是一个难题，因为评分的过程依赖人为的判断以及多元的指标，评分者之间评分的一致性通常不高，要提升其信度，还需反覆的试验、反思和修订，因此需要累积更多成功经验，才能将实作评量推广至全校，成为长远发展策略。
在本环节中，讲者将与大家分享校本推行实作评量，由计划到实践的历程和体验，当中遇到的困难以及解决方法，又会透过课堂录影片段及学生习作，分析其结果与成效。
本学年，教师更将有关经验延伸至小三，并分别在二年级和三年级上学期，从「图形与空间」范畴中选取了「柱体和锥体」，以及「垂直线和平行线」两个单元来进行实作评量。在过程中，教师对评量活动的设计，学生的学习模式，以致评分的程序，又有另一番体会。
参考资料
1.香港课程发展议会(2002)。《数学教育学习领域课程指引(小一至中三)》。香港：香港印务局。
2.香港教育局数学教育组(2006)。《多元化评估模式和策略（小学数学科）》。香港：香港印务局。
3.Herman, L.J., Aschbacher, R. P., & Winter, L. (1992). Linking assessment and instruction. A Practical Guide to Alternative Assessment, 2, 12-22. ASCD: Virginia.
「相差」与「比较」的成长路──小一及小二基本加、减与比较应用题的纵向课程发展
李润强先生(高级学校发展主任)
林雪玲老师、黄安儿老师（亚斯理卫理小学）
小一学生透过数数、读数和写数，认识1至20，并透过认识1至18的基本组合，延伸学习18以内的基本加法和减法，这些进程是建立基础加法及减法概念的必经阶段。
在学习基础加法的概念时，学生从认识「合共」的意思理解加法的概念；而在学习基础减法概念时，学生则需认识「取去」与「相差」两者的分别，从而理解两个不同的减法概念。在「相差」的概念中，亦包含「比较」的意思，例如「3和4相差1」、「4比3多1」、「3比4少1」等 (Van De Walle, John A., 1998)。
一般教师在教授这课题时较为着重加强学生的运算能力。当学生被问及有关加法或减法的意思，又或是要求他们举出日常生活应用的例子时，大部分学生都能说出加法的意思及例子，但利用日常生活的例子表达减法的意思就较为困难，特别是「相差」的概念。
教师曾表示，学生在认识「两数比较」时，他们都能先透过「一一对应」的方法，理解如何比较两数的相差，但当提及利用「减法」可计算它们的相差时，能力稍逊的学生都感到难以理解，学生好像只是听从教师的说法，谨记利用减法去计算。然后过了一段时间后，他们又较容易忘记计算的方法。
另一方面，很多教师只着重训练学生计算「比较两数的多少？」，忽略要求学生掌握「比较句子」的结构，例如我们可以这样说：「4比3多1」或「3比4少1」。若我们在测考中，只透过这类题目评估学生，例如「4比3多 ___。」，学生只需谨记大数减去细数便可计出答案。然而若学生不掌握「比较句子」的结构，日后在认识「比较类应用题」时，他们就难以分析「哪个较多？」或「哪个较少？」。
现时有一个常见的现象，很多学生在题目中看见「…比…多」，就运用加法，看见「…比…少」，就运用减法。教师认同这类的题目使学生感到困惑，然而我们仔细分析学生的难点，就会发现他们根本不理解当中「比较句子」的意思。这些学生可能从小一就在不理解的情况下计算，对「比较句子」的意思只是一知半解，造成日后对解答「比较类应用题」的困惑。
亚斯理卫理小学的老师与本组协作筹划相关的课程时，参考了Haylock & Cockburn (2008) 的意见，认同儿童在学习新的数学概念时，需要联系他们过往的经验与知识，这才能帮助他们理解新的数学概念。在理解基础运算的概念时，教师常利用儿童一些简单的生活情景作引入，然后透过不同的策略，例如实物操作(concrete experience)、符号(symbols)、语言(language)及图像(pictures)等，协助儿童理解抽象的数学概念。若教师能把以上四项策略互相紧扣，以及联系儿童的过往经验与知识，就更能加强他们对这些数学概念的理解。儿童透过操作具体的实物(concrete experience)进行运算，利用符号(symbols)表达运算的过程，然后利用语言(language)读出运算的方法与描述实物操作的意义，并讨论这些符号表达的意思与实物操作的关系，继而再利用图像(pictures)表达对情景的理解，以及协助运算(Haylock & Cockburn, 2008)。
回想我们的教学中，也曾利用以上四项策略，透过学习活动建构学生加法及减法的概念。此外，在联系日常生活情景方面，很多课本都惯常利用一些简单的情景，例如「我有5粒糖，妈妈给我3粒糖，我共有糖多少粒？」及「我有5粒糖，取去3粒糖后，余下糖多少粒？」表达加法及减法的意思。然而这些都是我们假设的情景，能力较弱的学生在理解方面会感到困难；单靠听老师的讲解这种较为被动的方式学习，而例子的数量及种类亦有限，对理解加法及减法的概念会造成局限。
经反思后，为加强联系学生的日常生活经验与加法及减法的概念，我们一方面透过讲解不同的生活情景，要求学生说出加法或减法的算式；另一方面，我们利用一道算式，例如「5 3 = 2」，着学生联想自己相关的生活情景，说出包含这道算式的生活例子，例如「我有5粒糖，给了弟弟3粒糖后，余下2粒糖。」这可让他们表达对算式与生活例子的理解之余，还可扩阔他们的思考空间。
当学生掌握减法概念中「取去」的意思后，他们又需认识减法另一意思──「比较两数相差」。一般学生会感到减法中「取去」的意思较容易理解，而对「比较」的意思会感到困难，例如「4比3多多少？」学生不明白为何「4 3 = 1」就能计算出答案，学生刚刚理解减法是取去某数的部分，而在比较的过程中又没有发现取去的意思，所以较难接受「比较」又是减法另一意思。然而课本常把减法的两个概念放在一起，学生同时认识同一个运算符号，内里有两个不同的意思，这会令刚刚入学的小一学生感到困难。
因此，我们先让学生掌握减法中「取去」的概念，然后才让学生认识减法中「比较两数相差」的概念。我们注意到学生在认识这概念时，学生不单认识利用减法找出两个数的相差，他们还需要认识一组复杂的数学语言，例如「4比3多1」、「3比4少1」、「3和4相差1」、「牛比羊多1只」、「羊比牛少1只」、「牛和羊相差1只」等。若题目给予两个不同的数时，或两种不同数量的物件时，学生应能利用数学语言，比较两个数或两种物件的「相差」、「多」和「少」。课文编排方面，有些课本同时介绍以上所有的句子，而另一些课本则先介绍「多」和「少」，但在日后的应用题（约半年至一年后）才突然出现计算「相差」的题型。总而言之，学生在认识不同的「比较句子」时，又需要理解减法的另一意思，这对学生不是一件简单的事情。若我们只轻轻带过这些概念或数学语言，学生很容易只掌握一些计算技巧，例如「大数减细数」的策略。
我们也曾尝试引入减法只计算「比较两数多少」时，例如「4比3多___」或「3比4少___」，能力稍逊的学生感到困难，因为两句不同的句子，都是利用减法计算。后来我们尝试只介绍「两数相差」的句子，例如「4和3相差___」，先利用最简单的方法──「一一对应」，让学生明白「两数相差」的意思，然后再引入减法计算的方法。我们尝试在计算「两数相差」时，把相同数量取去，余下的就是它们的相差，联系学生最先认识减法的概念；学生透过操作数粒、符号、语言及图像学习，并紧扣他们的已有知识。经尝试后，我们发现很多学生都感到较易理解，课堂表现显得更有信心。接着，我们引入「两数相差」与「比较两数多少」的概念，透过观察例子，让学生找出两个数的「相差」与比较这两个数的「多」和「少」的答案是相同的，从而归纳出「比较两数多少」其实就是「比较两数的相差」，这样学生便较易明白计算「比较两数多少」与「两数相差」的方法都是减法。
另一方面，在小二的「比较类应用题」中，题目内必定包含其中一类「比较句子」，例如「羊有20只，羊比牛多5只，牛有多少只？」，学生必须透过理解整道题目的意思，然后才判断计算的方法，不可以只靠辨认关键字「…比…多」便利用加法。而我们的学生在小一的阶段已认识「比较两数相差」的概念，以及理解「比较句子」的意思，因此我们先让学生重温这些概念及句子结构后，便开始讨论解题的策略。在解题策略上，我们先让学生分析「比较句子」中的意思，分析「谁较多？」及「谁较少？」，然后再从问句中要求计算的项目是「较多」还是「较少」，才判断运用加法或减法。
我们察觉大部分小二学生对小一阶段的「比较两数相差」及「比较句子」已有一定的认识，对理解「比较类应用题」有很大的帮助。这类题目属初小最为艰深的题型之一，过往一般能力的班别，只有小部分能力较高的学生能掌握。经尝试后，现在大部分的学生在小二上学期的阶段都能掌握。
亚斯理卫理小学教师与本组同工透过是次分享会，就以上的学习难点，针对学校里能力一般及稍逊的学生，分享过往课程发展的经验。我们将会分享小一基本加法及减法的概念，着重协助学生理解加法中「合共」的意思、减法中「取去」及「相差」的意思，特别是在「相差」的概念里如何比较「两数相差」及「比较多少」的方法。此外，更会介绍小二的「比较类应用题」的纵向发展策略。我们希望透过是次分享会与同工交流经验，从而促进彼此的专业成长。
参考资料
1.Van De Walle, John A. (1998). Elementary and Middle School Mathematics. Addison Wesley Longman, Inc.
2.Derek Haylock & Anne Cockburn (2008). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage & Lower Primary Teachers. SAGE Publications Ltd.
平面图形教学的反思──四边形教学 (小四) 的另类尝试
陈钢先生 (高级学校发展主任)
李国乔老师、袁国庆老师、陈浩文老师(圣文德天主教小学)
四年级上学期图形与空间范畴的教学内容为学习各类四边形的特性。在这个时期，教师需协助学生重温有关四边形的基础知识，然后再深入学习各类四边形的特性。学生在经过这个单元的学习，需要了解长方形、平行四边形等图形的特性。教师反映在教授这个单元的时候，学生能透过活动掌握图形的特性。但过了一段时间后，学生便遗忘所学，在评估时也较容易混淆图形的特性。造成这个困难的原因，可能是此课题的学习内容颇多，学生需要记忆相当多的资料。若果学生未能有效组织各四边形的特性，便较难在长时间后仍记忆所学。本节分享会尝试对四边形教学作出一些分析及建议，望能帮助教师改善相关教学设计。
在此让我们回顾儿童学习几何所经历的阶段。荷兰数学家 Van Hiele 将儿童学习几何的经历分为五个阶段 (Van de Walle, 1998)，包括
一、 视觉期 (visualization)；
二、 分析期 (analysis)；
三、 非正式演绎期 (informal deduction)；
四、 正式演绎期及 (formal deduction)；
五、 公理期 (rigor)。
小学生的几何学习，主要停留在第一及第二个阶段，并准备过渡至第三个阶段。有学者利用「观察 」(observation) 及「辨认」 (recognition) 来描述首两个阶段 (Monaghan, 2000) 的特色。即是说，在第一阶段的儿童是观察整幅图形为主，较少了解到图形的局部特性，例如儿童可以靠直观的方法辨认长方形，但不能了解长方形有两组对边长度相等；儿童能认出梯形，但不一定知道梯形有一组对边平行。到了第二阶段，儿童能辨认图形的局部特征，开始留意图形的边与角，例如学生能知道正方形有四个直角。但此阶段的儿童，仍未能明白图形的定义及了解不同图形的从属关系。
让我们看看学生于初小 (小一至小三) 有关四边形的学习情况。于一年级下学期，学生已开始学习有关平面图形的知识，并认识各类多边形的名称，包括以直观的方法认识三角形、四边形和五边形等。在四边形方面，更会进一步学习正方形和长方形 (视觉期)。到了二年级下学期，学生需要较仔细分辨正方形及长方形相似与不同之处 (分析期)，并开始接触梯形和菱形。到了三年级的上学期，学生会认识平行四边形并学习其简单特性 (视觉期和分析期)。在视觉期的学童，透过观察图形的整体结构来辨认图形，他们能认得水平摆放的正方形和长方形。
为了协助学生过渡至分析期，教师可引入更多四边形的例子与非例子，促使学生留意图形较细致的部份。例如将正方形倾斜于水平线，看看学生还能不能认出该图形是正方形；或者以三条曲线组成一个图形，测试学生有没有留意图形线的特性，会不会将该图形看成是三角形。
学生在初小对各类四边形有了一定的认识，到了小四上学期，可以说是将初小的学习来一次总结并进一步学习各类四边形的特性，所以学生需要在这时学习 (包括重温) 正方形、长方形、菱形、平行四边形和梯形等图形的特性，并比较它们的特性。由于资料丰富，如果学生不懂得有系统地整理所学，便容易遗忘。到了评估的时候，学生也较容易遗漏，未能完整列出图形的特性。
在以往的教学中，教师多会让学生比对各类四边形，从而加深他们对图形的印象。例如，透过比较平行四边形和长方形，帮助学生辨别两类图形的异同；透过概念图，协助学生厘清各类四边形的关系。透过用心安排教学活动和流程，教师将四边形的知识作清晰的整理展示，学生能较为有组织地理解各类图形的属性。
经过备课会的商讨，圣文德天主教小学的教师在本年度的教学中尝试以另一个角度引导学生学习四边形。教师更加强调图形边的特性和角的特性，帮助学生更好地掌握四边形学习的重点，包括要求学生了解图形的对边是否平行，有多少组对边是平行的；图形的对边是否长度相等，有多少组对边长度相等；然后再从图形的角出发，讨论图形有多少个直角等问题，让学生清楚了解图形边和角的特性。
上述的教学活动，多属 Van Hiele 几何学习的分析期。从课堂所见，学生较为容易适应并能辨别图形的特性。所学习的内容虽然与以往的相同，但教师利用两个角度 (图形对边的特性和图形角的特性) 贯串各类图形的学习，亦能够突出各图形的相似与不同之处。
Monaghan (2000) 认为我们能透过儿童的用语来更清楚地掌握儿童的学习概念，例如当询问学生有关长方形和正方形的分别时，学生往往以为长方形会比正方形大，这可能是由于学生只看过课本中的几个例子而形成的错误观念，我们可从学生的回应了解学生经过学习究竟形成了什么概念。基于上述原因，在教学的过程中，教师会藉着提问，了解学生的想法，从而发现学生还存在的学习问题，并作出跟进。例如在教学活动的过程中，我们发现小部份学生因应生活上的经验，用错误的观念解释什么是四边形的「对角」。有了此发现，教师便首先深入解说图形的基础概念，然后才进一步教授四边形的其他特性。
在教学过程中，我们再一次看到学生有良好学习习惯的重要。例如在辨认菱形有没有四个直角时，有部份学生仍停留在初阶的几何学习阶段，只是利用直观的方法进行判断，较容易出错。较细心的学生，会利用直尺检查图形的角度是锐角、直角或是钝角。学生透过实证能更清楚了解图形的特性。除利用直尺作为学习工具，教师也会利用电子教具、钉板及四边形图案等作为辅助，帮助学生巩固所学。
到了总结的阶段，教师亦透过小游戏的方式让学生学习。活动是要求学生做小侦探，教师在袋中藏有一个四边形，要求学生透过提问有关图形的问题找出图形是哪一类的四边形。学生不能要求教师直接告知答案，而是利用刚学习的四边形知识，询问教师有关图形的特性。例如学生只能提问教师「图形是不是有四个直角」、「图形的两组对边是不是长度相等」等问题，而教师只是回答「是」或「不是」。透过一系列的提问，学生尝试找出教师藏有一个怎样的图形。此活动与 Van de Walle (1998) 提及的 “Shape Hunt” 活动相似，都是要求学生利用图形特征找出图形，在几何教学中加入解难的意味，以提升学生的学习兴趣。
我们也会提及进行教学活动时需要注意的细节。例如，在初次执行「小侦探」活动时，我们并未要求学生即时纪录教师的回答，只是要求学生记着教师的回答便可。当教师回答了学生两、三个问题后，发现学生已忘记了第一个问题的答案，接下来学生只是瞎猜答案。看到此情况，我们便要求学生作纸笔记录，或由教师提供四边形的教具让学生作记录，当有了这些辅助工具，学生能更有系统地记录活动中的提问与回答，因而能更准确地辨认四边形，达到了活动的目的。有时我们有了好的教学意念，在执行时或未能有预期的效果，不一定代表教师要摒弃整个活动，或以为该意念不可行。我们可藉?审视活动的执行过程，反思在细节上是否出了什么差错并作出改善，使活动得到较为令人满意的效果。
从课堂所见，学生多能从活动中巩固此单元的学习。在小班教学的环境中，教师不妨多利用讨论的方法，让学生可以从「生生互动」及「师生互动」中学习，并配合适当的提问，令学生有更多思考数学的机会 (Galton，2009)。
活动除了帮助学生重温图形的特性，更促使学生在学习以数学语言作讨论，例如学生在活动中需指出哪些图形四边相等，并以数学语言作?报。在进行游戏时，若学生未能善用精确的数学语言进行提问，则学生未能从教师处获得有用的资讯。故在小组讨论和活动时，学生都有机会从听、讲中学习，达到了我们在教学中训练学生沟通能力的目的 (香港课程发展议会，2000)。
在此分享会，我们会透过分析课程结构与教师一起剖析四边形的教学重点，亦会利用课堂片段，反思学生学习上的困难和学习经过，提出我们在教学上的另类尝试，让教学活动更突出图形的属性。在活动中，学生透过小组活动掌握图形的边和角的特性。除此之外，学生亦在活动和游戏中利用数学语言与同学沟通，亦令学生能透过自己的语言整理学习的内容，加深了对各类四边形的印象。希望教师能藉此分享会了解四边形的不同教学策略，并进一步掌握学生的学习模式。
参考资料
1.Galton, M. (2009). Study on small class teaching in primary schools in Hong Kong. The Education Bureau and University of Cambridge. Retrieved from, http://www.edb.gov.hk/sc/edu-system/primary-secondary/applicable-to-primary/small-class-teaching/reference.html
2.Monaghan, F. (2000). What Difference Does It Make? Children’s Views of the Differences between Some Quadrilaterals. Educational Studies in Mathematics, 42(2), 179-196.
3.Van de Walle, J. (1998). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. 3rd ed. New York：Longman.
4.香港课程发展议会(2000)。《数学课程指引(小一至小六)》。香港：政府印务局。
