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1.課程簡介及理念

2.課程目標

3.課程內容

4.課程實施

5.參考資料

1. 課程簡介及理念

  1. 資優同學在學習上有獨特的學習需要。他們一般會對有興趣的事物感到好奇和作出深入探究。此外，他們有些會很有創意，並且做事也很有恆久性。他們會運用自己獨有的思考能力去解決一些困難的問題，甚至產生有創意的見解。
  2. 此課程的設計著重引起學生對數學的興趣，然後鼓勵他們去思考及解決一些趣味數學問題。故此，本課程十分切合資優學生的學習需要與潛能。
  3. 此課程有異於補習中心及一般學校的課程與活動，著重培養學生的思考及解決問題能力。
  4. 課程內容適合小五至中一的資優學生，對數學有興趣而數學科成績特別優異的高小或初中學生亦可參加。

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2. 課程目標

  1. 讓學生鞏固一些數學概念，例如指數、方程式、分數、正負數、平均數和坐標等；
  2. 訓練學生從多個角度及方向去思考問題；
  3. 增強學員解答趣味數學問題的能力；
  4. 引發學生對數學科的興趣。
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3. 課程內容

教學對象：中一學生
節數：八節
教學時間：每節一個半小時
參與人數：20人

1.第一節

2.第二節

3.第三節

4.第四節

5.第五節

6.第六節

7.第七節

8.第八節

第一節

 

教學活動：

  1. 13個硬幣的遊戲－運用策略令自己能拿到最後的金幣；
  2. 月曆上的數字方形－觀察行列數字形成的矩形上有什麼性質。

教學材料：
  1. 籌碼100個
  2. 月曆一個
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  簡介課程內容及課程目的

導師首先自我介紹，然後由學生講出自己的姓名、年級及就讀學校。		 10分鐘

15分鐘		  
  1. 透過遊戲去加深學生之間的認識；
  2. 引發學生運用「策略及思考」去增加勝出機會。
 13個硬幣的遊戲：

把學生分成兩人一組，將13個硬幣繞圈放置，兩位同學輪流拿一個硬幣或兩個相鄰的硬幣，拿到最尾的硬幣 為勝。兩人可交換先後次序玩若干次，然後統計大家勝出次數。		 25分鐘 致勝方法：只要拿到第4、第7或第10個硬幣便可取勝，但不可拿以下的組合(4,5),(7,8),(10,11)。
討論遊戲內容  共同討論如何加強自己勝出的機會 10分鐘  
  1. 從日常事物中找出和數學有關的特殊性質；
  2. 加強學生的觀察力。
 月曆上的數學方形：

在任何一張月曆上畫出任何長方形（不可有空格），則對角線兩端數字之和相等；
畫3x3的正方形，則兩對角線上數字之和相等，而且經過中心的行與列，兩端的數字之和亦相等。
那麼4x4的正方形又如何呢？上面數字有什麼關係？		 25分鐘 答案：兩對角線上數字之和相等，設左上角數字為X
16X+192=正方形內數字的總和
簡介第二節內容 第二節活動：
  1. 放硬幣
  2. 河內塔
學生需要準備3枝筆，圓規及剪刀一把。		 5分鐘  



第二節

教學活動：

  1. 放硬幣－將不同數目硬幣放在棋盤上，從而帶出指數概念；
  2. 河內塔－將形成塔的圓板搬到另一枝柱子的遊戲。

教學材料：
  1. 籌碼100個
  2. 月曆一個
  3. 寶貼膠
  4. 筆三枝
  5. 圓規
  6. 色紙
  7. 剪刀
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 透過遊戲帶出指數概念；
  2. 引發學生思考兩個指數的和。
 放硬幣：

若果有1000000個硬幣，用下列方式把8x8格的棋盤用硬幣填滿，第一格放第一個，第二格放第二個， 第三格放第四個，第四格放第八個，如此類推，其他的硬幣足夠填滿所有的方格嗎？		 15分鐘 答案：不足夠
加深學員對指數的概念及其結果分析 解釋以上問題答案，因為第64格已要擺263個硬幣，多過1000000個；及帶出1+2+4+.......263的計算方法。 20分鐘 答案：
總和＝264-1，請參考幾何數列的總和（Sum of geometric sequence）
  1. 製作河內塔；
  2. 用「嘗試和糾正」的方法去找答案；
  3. 引發學生應用指數。
 河內塔：

用寶貼膠將三枝筆豎立，用圓規畫出6個不同大小之圓形紙板並剪出來，把圓形紙板依大小次序插在其中一枝筆上，形成塔狀。		 15分鐘  
按以下規則，要把全部圓形紙板從一枝筆移到另一枝筆－每次只能移一個圓形紙板，而較大的圓形紙板不可放在較小的圓形紙板上 。當塔有n層紙板時，最少的移動次數是多少？試移n=2至6層的塔。 20分鐘 答案：2n-1
討論結果 找出當n=2至6層塔時，移動的最少次數，並叫學員嘗試移動一次。 15分鐘 應用：
搬屋搬運物件；
蛋糕層層移位。
簡介第三節內容 第三節內容包括正多面體與歐拉公式及「多少個紅面」。 5分鐘  



第三節

教學活動：

  1. 從正多面體的頂點、稜和面，帶出歐拉公式；
  2. 將塗紅面的立方體切割成小立方體，找出各小立方體的紅面數目。

教學材料：
  1. 正四面體(錐體)模型一個
  2. 立方體模型一個
  3. 正八面體模型一個
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 認識正多面體；
  2. 認識歐拉公式。
 正多面體與歐拉公式：

角柱體及角錐體都是平面多邊形圍成的立體，一般平面多邊形圍成的封閉立體，稱為多面 體，若果每一個表面都是由全等正多邊形構成，則稱為正多面體。		 15分鐘  
帶出歐拉公式 完成工作紙一後，你能得出以下公式嗎？
V-E+F=2
30分鐘 答案：能
增加學生的幾何立體概念 多少個紅面：

完成工作紙二，找出分割正立方體後，表面漆油的分佈情況。 		30分鐘 答案：1, 6, 12, 8, 0
討論結果 核對不同小立方體漆面數目分佈情況時的結果。 10鐘 應用：
用磚建屋時計算需要用多少漆油。
簡介第四節內容 下堂內容包括把圓分割及一筆畫。 5分鐘  



第四節

教學活動：

  1. 認識「嘗試和糾正」的解難策略；
  2. 思考如何將圓劃分成最多區域。

教學材料：
  1. 每名學生獲派發A4紙5張
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 訓練學生從多種方向及角度去思考問題；
  2. 帶出「嘗試和糾正」的解難策略。
 一筆畫：

完成工作紙一，找出能一筆畫出的圖案。 		30分鐘 答案：
能一筆畫出的圖案包括圖1,圖 4及圖5
討論結果 學生嘗試把可以一筆畫的圖再畫一次。 10分鐘 應用：
農夫耕田澆水；
派報紙。
  1. 訓練學生的幾何思考能力；
  2. 引發學生從結果找出數列的關係。
 把圓分割：

完成工作紙二，試找出不同數目的弦如何把圓分成最多區域。 		30分鐘 答案：
7, 11, 16
討論結果 從以上答案，向學生証明毋須劃分五弦的結果。 15分鐘 透過以上答案可判斷超過5條弦時可劃分最多的區域數目
簡介第五節內容 下堂內容包括幻方、平均數及均衡。 5分鐘  



第五節

教學活動：

  1. 正負數的幻方；
  2. 用趣味圖型去計算平均數。

教學材料：
  1. 各學生自備計數機
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 鞏固學生正負數的加減能力；
  2. 學習解決幻方的方法。
 幻方：

完成工作紙一活動一，解決幻方的問題。 		20分鐘 參考答案
討論結果及解釋方法 向學生解釋製造幻方的快速方法 20分鐘
  1. 鞏固學生計算平均數的概念
  2. 引發學生從結果找出數列的關係。
 平均數：

完成工作紙一活動二，把平均數計算出來。 		5分鐘
  1. 利用趣味圖形去解釋平均數的問題；
  2. 認識輻射型複合數陣圖的佈列及其解決方法。
 均衡：

完成工作紙二，把數字排列在數陣圖內。		 30分鐘
結果討論 完成排列的學生可把方法及心得提供出來。 10分鐘 應用：
使用不同數量的砝碼在多面天秤中得到平衡。
簡介第六節內容 下堂內容包括「1=2」?，及年齡不是秘密。 5分鐘  



第六節

教學活動：

  1. 找出「1=2」的錯誤；
  2. 應用方程式找出年齡的秘密。

教學材料：
  1. 各學生自備計數機
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 導出恆等式
    a2-b2=(a+b)(a-b)
証a2-b2=(a+b)(a-b)
左邊=(a+b)(a-b)
=a2-ab+ab-b2
=a2-b2
=右邊 		10分鐘  
  1. 鞏固方程式的概念；
  2. 培養學生的觀察力
「1=2」?：

試找出下面証明1=2的錯誤在哪裡？
設：a=b≠0
ab=b2
ab-a2=b2-a2
a(b-a)=(b+a)(b-a)
a=b+a
a=a+a(因為a=b)
a=2a
所以1=2 		15分鐘  
解釋錯誤 由a(b-a)=(b+a)(b-a)到a=b+a這兩句是問題所在。
當b=a，
  1. (b-a)不可共同消去，因為(b-a)=0；
  2. 考慮c*0=d*0，在這情況下，c和d可以相同，也可以不同，所以a不一定等於b+a。
因此，在a(b-a)=(b+a)(b-a)一句之後的推論都是錯誤的，所以1≠2。		 10分鐘 應用：
學會如何驗証數學題。
  1. 從遊戲中培養觀察力及分析力；
  2. 讓學生應用方程式去解決問題。
 年齡不是秘密：

將年齡No.的方程式表示出來：
No.=(Y*2-7)*50+M+365
如果歲數是12歲9個月，把12代入Y，9代入M，便可計算出年歲No.為1224，當只得1224這個數時，便可以計算出年齡為12歲9個月。
讓學生從方程式中找出原因。 		35分鐘  
討論當中秘密 只要將年歲No.方程式式展開，便得到No.＝100Y+M+15，如果年歲No.為ABCD即AB為Y，(CD-15)為M。 15分鐘 應用：
找出朋友的歲數；
應用方程式解密碼。
簡介第七節內容 下堂內容包括分數數列及黃金比，請學生帶備尺、鉛筆、膠擦及計算機。 5分鐘  



第七節

教學活動：

  1. 用有效的方法將真分數按大小排列；
  2. 認識斐波那契數列，並簡介其用途。

教學材料：
  1. 方格紙
  2. 格仔板
  3. 間尺一把
  4. 計數機
  5. 鉛筆
  6. 膠擦
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
  1. 鞏固分數概念
  2. 引發學生用最適當及最有效方法去解決問題
  3. 學習及應用坐標
 分數數列：

先列出一些由1至9組成的真分數，找出共有多少個真分數，然後把它們從大至小按次序列出來。		 20分鐘  
探討解決以上問題的一種方法 首先把每個分數m/n用方格紙上的格點(m,n)表示，所有的真分數都會在y=x這條直線以上位置的格點。接著，沿y軸放置一把尺，把它穿過點0朝y=x的直線轉動，尺接觸到格點的先後次序便是對應分數由小至大的相應次序。 所以，由小至大的真分數列如下：
1/9<1/8<1/7.... 		25分鐘 應用：
比較大中小容量液體每單位的價格。
介紹斐波那契數列 考慮數列1,1,2,3,5,8,13,...數列中各項也是前兩項之和即(an=an-1+an-2)，它稱為斐波那契數列，數列中相鄰兩項之比具有非常有趣的性質。 10分鐘  
  1. 讓學生認識比；
  2. 介紹黃金比及其用途
 黃金比:

試求出以上數列的前12個比：

a1/a2=1/1
a2/a3=1/2=0.5
a3/a4=2/3=0.66667
a4/a5=3/5=0.6
a5/a6=5/8=0.625
a6/a7=8/13=0.6154
a7/a8=13/21=0.6190
a8/a9=21/34=0.6176
a9/a10=34/55=0.6182
a10/a11=55/89=0.6180
a11/a12=89/144=0.6181
a12/a13=144/233=0.6180

這些比收歛於0.618，這個數就稱為黃金比。兩邊的比為這個數的矩形，稱為黃金矩形，黃金矩形為最勻稱的幾何圖形之一。 		30分鐘 應用：
建築設計；
繪畫的構圖。
簡介第八節內容 下堂為後一堂，內容包括分蛋糕及母子分地。 5分鐘  



第八節

教學活動：

  1. 解決分蛋糕的問題；
  2. 運用全等及相似概念去分配土地。

教學材料：
  1. 方格紙
  2. 間尺一把
  3. 圓規
教學內容：

具體目標 教學內容 時間分配 備註
訓練學生幾何思考的能力 分蛋糕：

完成工作紙一把蛋糕分給若干人。 		25分鐘 參考答案
討論結果 思考蛋糕分割的情況。 10分鐘  
鞏固學生對全等及相似的概念 母子分地：

完成工作紙二把土地分成六份。 		25分鐘 參考答案
討論結果 討論分割土地的方法。 10分鐘  
課程檢討及總結 檢討課程的深淺度、適切性、趣味性及時間安排等。 20分鐘  

 

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4. 課程實施建議


課程內容可加強應用性，提供機會讓學生應用所學的知識，並自行設計相關的數學遊戲或活動。

 

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5 參考資料

唐俠(1985)。<<幻方與數陣趣談>>。北京：科學普及出版社

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